Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
\left\{\begin{aligned} x+y+k z & =2 \\\\ 3 x+4 y+2 z & =k \\\\ 2 x+3 y-z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y + k\,z = 2,\\\\ 3x + 4y + 2z = k,\\\\ 2x + 3y - z = 1, \end{cases}
com incógnitas x,y,z e parâmetro k. Vamos usar teoria de sistemas lineares: calcular o determinante da matriz dos coeficientes para aplicar o Teorema de Cramer (caso \det\neq0) e, quando \det=0, verificar consistência pelo posto da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&-1\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}.
As subdeterminantes são
\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 3&-1\end{pmatrix}=-10,\quad \det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&-1\end{pmatrix}=-7,\quad \det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}=1,
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\det(A)=-10 -(-7) + k\cdot1 = k - 3.

Passo 3

Pelo Teorema de Cramer, se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única. Assim, para
k-3 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq3,
há exatamente uma solução.

Passo 4

Se k=3 então \det(A)=0 e a matriz é singular. Devemos verificar se o sistema é consistente. Substituindo k=3 nas equações, notamos que
(3x+4y+2z) \;=\; (x+y+3z)+(2x+3y-z),
está em consonância com o termo independente
3 = 2\cdot1 + 1\cdot1.
Isso mostra que a segunda equação é combinação linear das primeiras e não gera contradição. O posto da matriz de coeficientes e o da matriz aumentada coincidem e valem 2, logo há infinitas soluções.

Passo 5

Não existe valor de k que torne o sistema inconsistente (sem solução), pois o único caso singular k=3 é consistente.

Resposta

Sistema com solução única para k\neq3.
Sistema com infinitas soluções para k=3.
Não há valor de k que gere sistema sem solução.

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