Calcular os seguintes limites:
lim t infty(1+t^21-t i+sen(t) j+1-e^-tt k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando t tende ao infinito. Isso significa que temos que encontrar o comportamento de cada componente do vetor conforme t cresce sem parar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites de funções algébricas, funções trigonométricas e exponenciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos cuidar da componente i :
limt to infty 1 + t^21 - t
Aqui, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de t . Quando t tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. No numerador, o termo t^2 cresce muito mais rápido que o 1, e no denominador, o termo -t também domina o 1.
Então, simplificamos a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
limt to infty t^2-t = limt to infty -t = -infty
Portanto, a componente i tende a -infty .

Passo 3

Agora, vamos analisar a componente j :
limt to infty sin(t)
A função seno, sin(t) , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de t . Isso significa que, independente de como t cresce, sin(t) nunca se estabiliza em um único valor; ela continua a oscilar sem parar.
Portanto, o limite de sin(t) quando t tende ao infinito não existe.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a componente k :
limt to infty 1 - e^-tt
Primeiro, vamos analisar e^-t . Quando t cresce, e^-t tende a 0, porque e^-t = 1e^t e e^t cresce muito rápido.
Assim, a expressão fica:
limt to infty 1 - 0t = limt to infty 1t = 0
Portanto, a componente k tende a 0.

Resposta

O limite da função vetorial é:
limt to infty ( 1+t^21-t i + sin(t) j + 1 - e^-tt k ) = (-infty) i + não existe j + 0 k ã

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