Calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando
tende ao infinito. Isso significa que temos que encontrar o comportamento de cada componente do vetor conforme
cresce sem parar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites de funções algébricas, funções trigonométricas e exponenciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos cuidar da componente
:
Aqui, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de
. Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. No numerador, o termo
cresce muito mais rápido que o 1, e no denominador, o termo
também domina o 1.
Então, simplificamos a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
Portanto, a componente
tende a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a componente
:
A função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, independente de como
cresce,
nunca se estabiliza em um único valor; ela continua a oscilar sem parar.
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito não existe.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a componente
:
Primeiro, vamos analisar
. Quando
cresce,
tende a 0, porque
e
cresce muito rápido.
Assim, a expressão fica:
Portanto, a componente
tende a 0.
Resposta
O limite da função vetorial é: