Considere a equação
. De acordo com os conteúdos estudados, é possível resolvê-la para
? Se sim, diga como. Se não, justifique.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. A pergunta é se conseguimos resolver essa equação quando
. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e métodos de resolução com fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação. Isso simplifica para:
Simplificando mais, temos:
Agora, vemos que a equação é linear na forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial para
.
Resposta
Sim, é possível resolver a equação para
usando o método do fator integrante, resultando em uma solução geral expressa acima.