Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y \sqrt{x{2}+y{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral iterada
I = integral0^1integral0^1 x,y,raizx^2+y^2 ,dy,dx
O conteúdo envolve integrar primeiro em y e depois em x, usando substituições para encarar termos como yraizx^2+y^2 e depois x(x^2+1)^3/2.

Passo 2

Calculemos a integral interna em y:
J(x)=integral0^1yraizx^2+y^2,dy
Fazemos a troca de variável ;u = x^2+y^2, então ,du=2y,dy e y,dy=tfrac12du. Quando y=0, u=x^2; quando y=1, u=x^2+1. Assim,
J(x) =integralu=x^2^x^2+1raizu,du2 =12integralx^2^x^2+1u^1/2du =13l[(x^2+1)^3/2-x^3r]

Passo 3

Substituindo J(x) em I, fica
I =integral0^1x,J(x),dx =13integral0^1xl[(x^2+1)^3/2-x^3r]dx =13l(A - Br),
onde
A=integral0^1x,(x^2+1)^3/2dx, B=integral0^1x^4dx

Passo 4

Para A, usamos de novo u=x^2+1, então du=2x,dx, x,dx=tfrac12du, e u vai de 1 a 2:
A =12integral1^2u^3/2du =12cdot25l[u^5/2r]1^2 =15l(2^5/2-1r)

Passo 5

A integral B é trivial:
B=integral0^1x^4dx=15
Logo
I =13l(15(2^5/2-1)-15r) =115l(2^5/2-2r) =4raiz2-215

Resposta

4raiz2-215

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