Considere a equação d yd x=P(x)+Q(x) y+R(x) y^n. De acordo com os conteúdos estudados, é possível resolvê-la para n=1? Se sim, diga como. Se não, justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^n. Precisamos verificar se é possível resolvê-la quando n=1. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de ODEs.

Passo 2

Substituindo n=1 na equação:
Quando n=1, a equação fica:
dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^1 = P(x) + [Q(x) + R(x)]y
Essa forma é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a estrutura:
dydx + a(x)y = b(x)

Passo 3

Identificando os coeficientes:
Comparando com a estrutura padrão, temos:
  • a(x) = -[Q(x) + R(x)]
  • b(x) = P(x)

Passo 4

Método do fator integrante:
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, utilizamos o fator integrante, que é uma função mu(x) utilizada para simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
mu(x) = e^integral a(x)dx

Passo 5

Calculando o fator integrante:
Substituindo a(x) na fórmula:
mu(x) = e^integral -[Q(x) + R(x)]dx = e^-integral [Q(x) + R(x)]dx

Passo 6

Multiplicando pela fator integrante e resolvendo:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
mu(x)dydx + mu(x)a(x)y = mu(x)b(x)
Isso simplifica para:
ddx[mu(x)y] = mu(x)P(x)
Integrando ambos os lados:
mu(x)y = integral mu(x)P(x)dx + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Sim, para n=1 a equação pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
y(x) = 1mu(x)( integral mu(x) P(x), dx + C ),
onde
mu(x) = e^-integral [Q(x) + R(x)], dx
e C é a constante de integração.

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