Considere a equação
. De acordo com os conteúdos estudados, é possível resolvê-la para
? Se sim, diga como. Se não, justifique.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial
. Precisamos verificar se é possível resolvê-la quando
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução de ODEs.
Passo 2
Substituindo
na equação:
Quando , a equação fica:
Quando
Essa forma é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a estrutura:
Passo 3
Identificando os coeficientes:
Comparando com a estrutura padrão, temos:
Comparando com a estrutura padrão, temos:
Passo 4
Método do fator integrante:
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, utilizamos o fator integrante, que é uma função utilizada para simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, utilizamos o fator integrante, que é uma função
Passo 5
Calculando o fator integrante:
Substituindo na fórmula:
Substituindo
Passo 6
Multiplicando pela fator integrante e resolvendo:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Sim, para
a equação pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
onde
e
é a constante de integração.