Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(2 x+y)^{8} d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
integral0^2integral0^1(2x+y)^8,dx,dy
O conteúdo usado é integração em duas variáveis por partes: primeiro integramos em x mantendo y fixo e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna em x fazemos a substituição
u=2x+y, du=2,dxLongrightarrow dx=du2
Quando x=0 temos u=y e quando x=1 temos u=y+2. Logo,
integral0^1(2x+y)^8,dx = integralu=y^u=y+2u^8,du2 = 12[u^99]y^y+2 = 118l((y+2)^9-y^9r)

Passo 3

Substituindo na integral sobre y obtemos
integral0^2integral0^1(2x+y)^8,dx,dy = 118integral0^2l((y+2)^9-y^9r),dy
Agora calculamos separadamente:
integral0^2(y+2)^9,dy = integral2^4t^9,dt = [t^1010]2^4 = 4^10-2^1010,
integral0^2y^9,dy = [y^1010]0^2 = 2^1010

Passo 4

Subtraindo e simplificando,
integral0^2l((y+2)^9-y^9r),dy = 4^10-2cdot2^1010 = 1048576-204810 = 104652810 = 5232645
Multiplicando pelo fator tfrac118,
118cdot5232645 = 52326490 = 26163245

Resposta

26163245

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