Calcular os seguintes limites:
lim t 2(1-e^t+2t^2+t-2 i+j+(t^2+6 t) k)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um limite vetorial aqui. O exercício pede para calcular o limite quando t se aproxima de 2 da seguinte expressão vetorial:
lim t 2(1-e^t+2t^2+t-2 i + j + (t^2+6 t) k)
Vamos precisar usar conceitos de limites para funções escalares e aplicá-los a cada componente do vetor. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos separar o limite em três partes correspondentes às componentes i , j e k .
lim t 2 1 - e^t+2t^2 + t - 2 i + lim t 2 j + lim t 2 (t^2 + 6t) k

Passo 3

Vamos calcular o limite da primeira componente:
lim t 2 1 - e^t+2t^2 + t - 2
Primeiro, substituímos t = 2 :
1 - e^44 + 2 - 2 = 1 - e^44
Então, o limite da primeira componente é:
1 - e^44 i

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
lim t 2 j
Como j é uma constante, o limite é simplesmente j .

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite da terceira componente:
lim t 2 (t^2 + 6t) k
Substituindo t = 2 :
2^2 + 6 times 2 = 4 + 12 = 16
Então, o limite da terceira componente é:
16 k

Resposta

Juntando tudo, o limite é:
1 - e^44 i + j + 16 k

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