Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} r \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta d r

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral iterada
integral0^2integral0^pir,sin^2theta,dtheta,dr
O conteúdo aqui é integração iterada de função separável em r e theta; vamos primeiro integrar em theta e depois em r.

Passo 2

Calcular a integral interna em theta. Usamos a identidade
sin^2theta = 1-cos(2theta)2
Assim,
integral0^pisin^2theta,dtheta = integral0^pi1-cos(2theta)2,dtheta = [theta2-sin(2theta)4]0^pi = pi2

Passo 3

Agora a integral externa em r fica multiplicada pelo resultado anterior, pois são variáveis separáveis:
integral0^2r,dr ;=;[r^22]0^2 =;2

Passo 4

Basta multiplicar os dois resultados:
pi2times 2 = pi

Resposta

pi

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