Calcular os seguintes limites:
lim t infty(1t^2, -2 t^21-t-t^2, e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente precisa calcular o limite, quando t vai para o infinito, de um vetor que tem três componentes: 1t^2 , -2 t^21 - t - t^2 e e^-t . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites, analisando como cada função se comporta quando t cresce sem parar.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: 1t^2 . Aqui, temos uma função racional onde o numerador é 1 e o denominador é t^2 . Quando t tende para o infinito, t^2 fica muito grande. Então, 1t^2 vai ficar cada vez menor, se aproximando de zero.
Matematicamente:
limt to infty 1t^2 = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: -2 t^21 - t - t^2 . Essa também é uma função racional. Olhando os graus do numerador e do denominador, vemos que ambos são de segundo grau em t . Quando os graus são iguais, o limite é dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
No numerador, o coeficiente do t^2 é -2. No denominador, o coeficiente do t^2 é -1 (já que temos -t^2 ). Então:
limt to infty -2 t^21 - t - t^2 = -2-1 = 2

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: e^-t . Essa é uma função exponencial. Sabemos que, quando a base é e e o expoente tende para menos infinito, a função tende a zero. Ou seja, e^-t vai ficar cada vez menor conforme t aumenta.
Matematicamente:
limt to infty e^-t = 0

Resposta

Portanto, o limite do vetor quando t tende para o infinito é:
(0, 2, 0)

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