Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos pede para analisar a sequência
definida por
. Precisamos descobrir três coisas:
- Monotonicidade: A sequência é crescente, decrescente ou não segue nenhuma ordem específica?
- Limitada: Ela tem limites superiores e inferiores? Ou seja, existe algum número que é maior ou menor que todos os termos da sequência?
- Convergência: A sequência chega perto de algum valor específico quando
fica muito grande?
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre sequências e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja,
. É decrescente se cada termo é menor que o anterior, ou seja,
.
Vamos calcular
e comparar com
:
Agora, vamos ver a diferença entre
e
:
Como
, que é negativo, isso significa que
. Portanto, a sequência está descrecendo.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior que todos os seus termos (limite superior) e um número que é menor que todos os seus termos (limite inferior).
Vamos observar a sequência
. À medida que
aumenta,
fica cada vez mais negativo. Então, não há um limite inferior porque os termos continuam diminuindo sem parar. Em termos matemáticos:
Como não existe um número que seja menor que todos os termos da sequência, dizemos que a sequência não é limitada.
Passo 4
Por fim, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico à medida que
cresce.
Como vimos no passo anterior:
Isso significa que a sequência não se aproxima de um número finito; ao invés disso, ela vai para menos infinito. Portanto, a sequência não é convergente.
Resposta
A sequência
definida por
é decrescente, não é limitada e não é convergente.