Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=-n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos pede para analisar a sequência an definida por an = -n . Precisamos descobrir três coisas:
  1. Monotonicidade: A sequência é crescente, decrescente ou não segue nenhuma ordem específica?
  2. Limitada: Ela tem limites superiores e inferiores? Ou seja, existe algum número que é maior ou menor que todos os termos da sequência?
  3. Convergência: A sequência chega perto de algum valor específico quando n fica muito grande?
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre sequências e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, an+1 > an . É decrescente se cada termo é menor que o anterior, ou seja, an+1 < an .
Vamos calcular an+1 e comparar com an :
an = -n an+1 = -(n+1) = -n - 1
Agora, vamos ver a diferença entre an+1 e an :
an+1 - an = (-n - 1) - (-n) = -1
Como an+1 - an = -1 , que é negativo, isso significa que an+1 < an . Portanto, a sequência está descrecendo.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior que todos os seus termos (limite superior) e um número que é menor que todos os seus termos (limite inferior).
Vamos observar a sequência an = -n . À medida que n aumenta, -n fica cada vez mais negativo. Então, não há um limite inferior porque os termos continuam diminuindo sem parar. Em termos matemáticos:
limn to infty an = limn to infty (-n) = -infty
Como não existe um número que seja menor que todos os termos da sequência, dizemos que a sequência não é limitada.

Passo 4

Por fim, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico à medida que n cresce.
Como vimos no passo anterior:
limn to infty an = -infty
Isso significa que a sequência não se aproxima de um número finito; ao invés disso, ela vai para menos infinito. Portanto, a sequência não é convergente.

Resposta

A sequência an definida por an = -n é decrescente, não é limitada e não é convergente.

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