Calcule a integral dupla.
\iint_{R}\left(6 x^{2} y^{3}-5 y^{4}\right) d A, \quad R={(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 3,0 \leqslant y \leqslant 1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(6x^2y^3-5y^4r),dA,
onde R é o retângulo definido por 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Escrevendo como integral iterada e integrando em x:
integral duplaRl(6x^2y^3-5y^4r),dA =integraly=0^1!!integralx=0^3l(6x^2y^3-5y^4r),dx,dy
Como y é constante na integral interna, temos
integral0^3l(6x^2y^3-5y^4r),dx =6y^3integral0^3x^2,dx ;-;5y^4integral0^31,dx
Calculando as duas integrais:
integral0^3x^2,dx=x^33|0^3=273=9, integral0^31,dx=3,
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integral0^3l(6x^2y^3-5y^4r),dx =6y^3cdot9 ;-;5y^4cdot3 =54y^3-15y^4

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 1:
integral0^1l(54y^3-15y^4r),dy =54integral0^1y^3,dy ;-;15integral0^1y^4,dy
Calculando:
integral0^1y^3,dy=y^44|0^1=14, integral0^1y^4,dy=y^55|0^1=15,
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54cdot14-15cdot15 =544-3 =272-3 =27-62 =212

Resposta

212

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