Calcular os seguintes limites:
lim t 1(t^2-t1-t i+raizt+8 j+sen(pi t)ln (t) k)

Passo 1

O enunciado pede o limite vetorial quando tto1 de
t^2-t1-t,i ;+;raizt+8,j;+;sin(pi t)ln(t),k
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções escalares para cada componente. Vamos tratar cada componente separadamente.

Passo 2

Analisando a componente em i:
t^2-t1-t =t(t-1)1-t =-t(t-1)t-1 =-t,
valendo para tneq1. Portanto
limtto1t^2-t1-t=limtto1(-t)=-1

Passo 3

Para a componente em j temos uma função contínua em t=1:
raizt+8;longrightarrow;raiz1+8=raiz9=3
Logo
limtto1raizt+8=3

Passo 4

Na componente em k temos a forma indeterminada 0/0:
sin(pi t)ln(t)l(sin(picdot1)=0,;ln(1)=0r)
Aplicando a regra de l’Hôpital:
limtto1sin(pi t)ln(t) =limtto1ddt[sin(pi t)]/ddt[ln(t)] =limtto1picos(pi t)1/t =limtto1l(pi,tcos(pi t)r)
Em t=1 isso vale
picdot1cdotcos(pi) = picdot(-1) = -pi

Passo 5

Reunindo as três componentes, o limite vetorial é
-1,i ;+; 3,j ;+;(-pi),k

Resposta

limtto1l(t^2-t1-t,i+raizt+8,j+sin(pi t)ln(t),kr) =-i+3,j-pi,k

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