Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-16 s+3s^4+5 s^2+4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=6s+3s^4+5s^2+4
O conteúdo principal é decompor em frações parciais (Teorema 7.2.1) e depois usar que
L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at) e L^-1a/(s^2+a^2)=sin(at).

Passo 2

Fatoramos o denominador de quarto grau em quadráticos irreduzíveis:
s^4+5s^2+4 = (s^2+1)(s^2+4)

Passo 3

Assumimos a decomposição
6s+3(s^2+1)(s^2+4) =As+Bs^2+1+Cs+Ds^2+4
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+4) e somando termos, obtemos
6s+3=(As+B)(s^2+4)+(Cs+D)(s^2+1)

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes de
Daí , , .

Passo 5

Substituindo em cada fração,
F(s) =2s+1s^2+1 ;+;-2s-1s^2+4 =2,ss^2+1+1s^2+1-2,ss^2+4-1s^2+4

Passo 6

Agora aplicamos inversa de cada termo:
L^-1s/(s^2+1)=cos t,
L^-11/(s^2+1)=sin t,
L^-1s/(s^2+4)=cos(2t),
L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t).
Pela linearidade,
f(t)=2cos t + sin t ;-;2cos(2t) ;-;tfrac12sin(2t)

Resposta

f(t)=2cos t + sin t -2cos(2t) -12sin(2t)

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