Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-11s^4-9

Passo 1

O enunciado pede L^-1ltfrac1s^4-9r. Vamos usar álgebra (fatoração e frações parciais) e o Teorema 7.2.1 (linearidade da transformada e tabelas de pares :
Lsinh(at)=tfracas^2-a^2 e Lsin(bt)=tfracbs^2+b^2.

Passo 2

Fatoramos o denominador como
s^4-9=(s^2-3)(s^2+3)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
1(s^2-3)(s^2+3) =As^2-3+Bs^2+3
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes em s^2 e termo constante, obtemos
1=A(s^2+3)+B(s^2-3) =(A+B)s^2+3(A-B)
Daí
A+B=0, 3(A-B)=1 Longrightarrow A=tfrac16,;B=-tfrac16

Passo 4

Reescrevendo
1s^4-9 =16,1s^2-3-16,1s^2+3
Pela tabela de transformadas inversas:
L^-1!ltfrac1s^2-3r =1raiz3sinhl(raiz3,tr), L^-1!ltfrac1s^2+3r =1raiz3sinl(raiz3,tr)
Logo, por linearidade,
f(t) =L^-1!ltfrac1s^4-9r =16,1raiz3sinhl(raiz3tr) -16,1raiz3sinl(raiz3tr)

Resposta

L^-1!ltfrac1s^4-9r =16raiz3l[sinhl(raiz3tr)-sinl(raiz3tr)r]

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