As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Plano: 3 x+y-4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação do plano
3x + y - 4z = 0
das coordenadas cartesianas (x,y,z) para as coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e para as esféricas (rho,varphi,theta).
Para isso vamos usar as definições:
– Coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
– Coordenadas esféricas:
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi

Passo 2

Substituindo na equação do plano em coordenadas cilíndricas, temos
3(rcostheta) + (rsintheta) - 4z = 0
ou seja
r,(3costheta + sintheta) - 4z = 0
Podemos deixar como forma padrão
3rcostheta + rsintheta - 4z = 0
ou então isolar z:
z = r,(3costheta + sintheta)4

Passo 3

Agora em coordenadas esféricas, substituímos na equação do plano:
3(rhosinvarphicostheta) + rhosinvarphisintheta - 4(rhocosvarphi) = 0
Fatorando rho (que pode ser diferente de zero para pontos não triviais), fica
rhol(3sinvarphicostheta + sinvarphisintheta - 4cosvarphir) = 0
Logo a equação do plano em coordenadas esféricas é
3sinvarphicostheta + sinvarphisintheta - 4cosvarphi = 0
Opcionalmente, isolamos varphi via tangente:
tanvarphi = 43costheta + sintheta

Resposta

Coordenadas cilíndricas:
3rcostheta + rsintheta - 4z = 0 Long<=ftrightarrow z = r,(3costheta + sintheta)4
Coordenadas esféricas:
3sinvarphicostheta + sinvarphisintheta - 4cosvarphi = 0 Long<=ftrightarrow tanvarphi = 43costheta + sintheta

Exercícios relacionados