Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1s(s+2)(s^2+4)

Passo 1

Temos que encontrar L^-1l[F(s)r] com
F(s)=s(s+2)(s^2+4)
O teorema 7.2.1 nos garante que podemos usar expansão em frações parciais, e depois aplicar transformadas inversas conhecidas:
L^-1[1/(s+a)]=e^-at,
L^-1[s/(s^2+a^2)]=cos(at),
L^-1[a/(s^2+a^2)]=sin(at).

Passo 2

Proponho a decomposição em frações parciais
s(s+2)(s^2+4) =As+2+Bs+Cs^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s^2+4), obtemos
s = A,(s^2+4)+(Bs+C),(s+2)
Expandindo,
s = (A+B),s^2 + (2B+C),s + (4A+2C)
Comparando coeficientes em s^2, s e termo constante:
A+B=0, 2B+C=1, 4A+2C=0
Dessa sistema segue
A=-tfrac14, B=tfrac14, C=tfrac12

Passo 4

Substituindo em F(s):
F(s) =-tfrac141s+2 +tfrac14ss^2+4 +tfrac121s^2+4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo:
L^-1l[tfrac1s+2r]=e^-2t, L^-1l[tfracss^2+4r]=cos(2t), L^-1l[tfrac1s^2+4r]=tfrac12sin(2t)
Logo,
f(t) =-tfrac14,e^-2t +tfrac14,cos(2t) +tfrac12cdottfrac12,sin(2t) =-tfrac14e^-2t+tfrac14cos(2t)+tfrac14sin(2t)

Resposta

boxedf(t)=-tfrac14,e^-2t+tfrac14,cos(2t)+tfrac14,sin(2t)

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