\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}
D
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede: calcular todos os limites indicados, obedecendo a ordem em que foram enviados. Aqui estão eles, na mesma ordem:
Observação e técnica: se na substituição direta x=0 tanto numerador quanto denominador têm fator comum x, podemos fatorar e simplificar. Isso evita forma indeterminada 0/0.
Observação: isso exige x>0 para a raiz real; para x=0 a expressão também tem limite \tfrac{1}{2\sqrt{0}} não definida — no caso x=0 a expressão original tende a +\infty por essa fórmula. Em geral o resultado para x>0 é \tfrac{1}{2\sqrt{x}}. (Também pode ser visto como derivada de \sqrt{t}.)
Interpretação: \sqrt{(x+h)^{3}}=((x+h)^{3})^{1/2}=(x+h)^{3/2}. Portanto é o quociente incremental da função g(t)=t^{3/2} no ponto t=x. Usa-se a derivada:
Interpretação: é o derivado da função s(u)=\sqrt{u} no ponto u=a^{3}, considerando variação na entrada u igual a h. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior (ou racionalização),
Antes de resolver, atenção ao domínio: para que \sqrt{x^{2}-q^{2}} seja real para valores x próximos de 0, é necessário que x^{2}-q^{2}\ge 0 em torno de 0. Isso só é possível se q=0. Se q\neq 0 a expressão não é real para x suficientemente próximos de 0 (a menos que se trabalhe com números complexos, mas o enunciado não indica isso). Portanto assumimos que só faz sentido real se q=0.
Portanto, sob a condição necessária q=0 (para existência real da expressão), o limite é 0. Se q\neq 0 não há limite real porque a expressão não é real para x perto de 0.
Fatora numerador: x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1). Verifica-se que o denominador também se anula em x=1, então tenta-se dividir por (x-1). Fazendo divisão de polinômios:
Técnica mais simples: reconhecer que isso é razão de diferenciais — usar derivadas das funções envolvidas no ponto. Para funções contínuas diferenciáveis, quando ambas as diferenças tendem a zero, o limite é a razão das derivadas em pontos correspondentes.
Derivada de \sqrt{x} em x=7 é \tfrac{1}{2\sqrt{7}}. Derivada de \sqrt{x+7} em x=7 é \tfrac{1}{2\sqrt{x+7}}\big|_{x=7}=\tfrac{1}{2\sqrt{14}}. Assim o limite é
Usando derivadas (ou racionalização): derivada do numerador em x=1 é \tfrac{1}{2\sqrt{x}}\big|_{1}=\tfrac{1}{2}. Derivada do denominador é \tfrac{1}{2\sqrt{2x+3}}\cdot 2=\tfrac{1}{\sqrt{2x+3}}; em x=1 dá \tfrac{1}{\sqrt{5}}. Assim a razão é
-\tfrac{1}{2} \dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}} -\tfrac{1}{2} \dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}} \tfrac{1}{8} -\tfrac{2}{5} \dfrac{2\sqrt{2}}{3} 0 (observação: existe como real somente se q=0; caso q\neq0 a expressão não é real para x perto de 0)
0
\cos x -\operatorname{sen} x -\operatorname{sen} x \tfrac{3}{7} \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{5}}{2} \dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}} \dfrac{1}{5p^{4/5}} \dfrac{1}{2\sqrt{y}}