Calcular os seguintes limites:
11) \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}\right]
12) \lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-12 x+20}\right]
13) \lim _{t \rightarrow-2}\left[\frac{t^{3}+3 t^{2}+2 t}{t^{2}-t-6}\right]
17) \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\tan (x+h)-\tan (x)}{h}\right]
18) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
19) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{(x+h)^{3}}-\sqrt{x^{3}}}{h}
10) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}
20) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{5}+32}{x+2}
  1. \lim _{x \rightarrow-2} 4 x+1
  2. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}\right]
  3. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right]
  4. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right]
  5. \lim _{x \rightarrow-1}\left[-x^{2}-2 x+3\right]
  6. \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}\left[\frac{4 x^{2}-1}{2 x-1}\right]
  7. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3 x-1}{x^{2}+2}\right]
  8. \lim _{x \rightarrow 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right]
  9. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3 x-1}{x^{2}+2}\right]
  10. \lim _{x \rightarrow 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right]
  11. \lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-12 x+20}\right]
  12. \lim _{t \rightarrow-2}\left[\frac{t^{3}+3 t^{2}+2 t}{t^{2}-t-6}\right]
  13. \lim _{x \rightarrow 4}\left[\frac{\sqrt{2 x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right]
  14. \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-q^{2}}-q}\right]
  15. \lim _{u \rightarrow-2}\left[\frac{u^{3}+4 u^{2}+4 u}{(u+2)(u-3)}\right]
  16. \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right]
  17. \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}\right]
  18. \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}\right]
  19. \lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3 x-4}\right]
  20. \lim _{x \rightarrow 7}\left[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}\right]
  21. \lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{5}}\right]
  22. \lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\right]
  23. \lim _{x \rightarrow p}\left[\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{p}}{x-p}\right]
  24. \lim _{x \rightarrow p}\left[\frac{\sqrt{y+x-p}-\sqrt{y}}{x-p}\right]
  25. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}
  26. \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}
  27. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
  28. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}
  29. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{(x+h)^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}}}{h}
  30. \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}
    D

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede: calcular todos os limites indicados, obedecendo a ordem em que foram enviados. Aqui estão eles, na mesma ordem:
  1. \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}\right]
  2. \displaystyle \lim_{x\to 2}\left[\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}\right]
  3. \displaystyle \lim_{t\to -2}\left[\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}\right]
  4. \displaystyle \lim_{h\to 0}\left[\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h}\right]
  5. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
  6. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^{3}}-\sqrt{x^{3}}}{h}
  7. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}
  8. \displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{x^{5}+32}{x+2}
  9. \displaystyle \lim_{x\to -2}4x+1
  10. (repetido) \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}\right]
  11. \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right]
  12. (repetido) \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right]
  13. \displaystyle \lim_{x\to -1}\left[-x^{2}-2x+3\right]
  14. \displaystyle \lim_{x\to \tfrac{1}{2}}\left[\frac{4x^{2}-1}{2x-1}\right]
  15. \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}\right]
  16. \displaystyle \lim_{x\to 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right]
  17. (repetido) \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}\right]
  18. (repetido) \displaystyle \lim_{x\to 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right]
  19. (repetido) \displaystyle \lim_{x\to 2}\left[\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}\right]
  20. (repetido) \displaystyle \lim_{t\to -2}\left[\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}\right]
  21. \displaystyle \lim_{x\to 4}\left[\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right]
  22. \displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-q^{2}}-q}\right]
  23. \displaystyle \lim_{u\to -2}\left[\frac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u+2)(u-3)}\right]
  24. \displaystyle \lim_{h\to 0}\left[\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}\right]
  25. \displaystyle \lim_{h\to 0}\left[\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right]
  26. (repetido) \displaystyle \lim_{h\to 0}\left[\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right]
  27. \displaystyle \lim_{x\to 1}\left[\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}\right]
  28. \displaystyle \lim_{x\to 7}\left[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}\right]
  29. \displaystyle \lim_{x\to 1}\left[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}\right]
  30. \displaystyle \lim_{x\to 2}\left[\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\right]
  31. \displaystyle \lim_{x\to p}\left[\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{p}}{x-p}\right]
  32. \displaystyle \lim_{x\to p}\left[\frac{\sqrt{y+x-p}-\sqrt{y}}{x-p}\right]
  33. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}
  34. \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}
  35. (repetido) \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
  36. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}
  37. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}}}{h}
  38. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}
A partir daqui (Passo 2 em diante) vou resolver cada limite, explicando a técnica usada, sem pular etapas.

Passo 2

  1. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}.
Observação e técnica: se na substituição direta x=0 tanto numerador quanto denominador têm fator comum x, podemos fatorar e simplificar. Isso evita forma indeterminada 0/0.
Fatora-se x no numerador e no denominador:
\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x} = \frac{x(4x^{2}-2x+1)}{x(3x+2)}.
Cancelando x (válido para x\neq0, e o limite considera aproximação por x\neq0):
\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2}.
Agora substitui x=0:
\frac{4\cdot 0^{2}-2\cdot 0+1}{3\cdot 0+2}=\frac{1}{2}.

Passo 3

  1. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}.
Técnica: fatoração de polinômios para cancelar fator (x-2) se houver.
Fatora numerador e denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3), \qquad x^{2}-12x+20=(x-2)(x-10).
Cancelando (x-2) para x\neq2:
\frac{x-3}{x-10}.
Agora substitui x=2:
\frac{2-3}{2-10}=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}.

Passo 4

  1. \displaystyle \lim_{t\to -2}\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}.
Técnica: fatorar ambos e cancelar fator (t+2) se existir.
Fatora numerador:
t^{3}+3t^{2}+2t=t(t^{2}+3t+2)=t(t+1)(t+2).
Fatora denominador:
t^{2}-t-6=(t+2)(t-3).
Cancelando (t+2) (para t\neq -2):
\frac{t(t+1)}{t-3}.
Substitui t=-2:
\frac{(-2)(-1)}{-5}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}.

Passo 5

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h}.
Interpretação: essa é a definição do derivado da função \tan no ponto x. Conhecimento: a derivada de \tan u em u=x é \operatorname{sec}^{2}x.
Explicação breve: por definição do derivado,
\lim_{h\to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan(x)}{h}=(\tan x)'=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Técnica 1 (racionalização) e interpretação como derivada da função f(t)=\sqrt{t} no ponto t=x.
Racionaliza-se multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Fazendo h\to 0:
\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação: isso exige x>0 para a raiz real; para x=0 a expressão também tem limite \tfrac{1}{2\sqrt{0}} não definida — no caso x=0 a expressão original tende a +\infty por essa fórmula. Em geral o resultado para x>0 é \tfrac{1}{2\sqrt{x}}. (Também pode ser visto como derivada de \sqrt{t}.)

Passo 7

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^{3}}-\sqrt{x^{3}}}{h}.
Interpretação: \sqrt{(x+h)^{3}}=((x+h)^{3})^{1/2}=(x+h)^{3/2}. Portanto é o quociente incremental da função g(t)=t^{3/2} no ponto t=x. Usa-se a derivada:
(g(t))'=\frac{3}{2}t^{1/2}.
Logo o limite vale
\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x},
válido para x>0 (domínio real).

Passo 8

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}.
Interpretação: é o derivado da função s(u)=\sqrt{u} no ponto u=a^{3}, considerando variação na entrada u igual a h. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior (ou racionalização),
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}=\frac{1}{2\sqrt{a^{3}}}=\frac{1}{2a^{3/2}},
desde que a\neq 0 e a^{3}>0 se considerarmos raízes reais positivas; matematicamente a expressão vale sempre \tfrac{1}{2a^{3/2}} quando a>0.

Passo 9

  1. \displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{x^{5}+32}{x+2}.
Técnica: reconhecer soma de potências x^{5}+2^{5} e fatorar por (x+2). Para x^{5}+2^{5} vale a fatoração
x^{5}+2^{5}=(x+2)\bigl(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x+16\bigr).
Cancelando (x+2) (para x\neq -2) e substituindo x=-2 na parte restante:
x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x+16\Big|_{x=-2} =16 -2(-8)+4\cdot4 -8(-2)+16.
Calculando passo a passo:
16 +16 +16 +16 +16 =80.
Portanto o limite é 80.

Passo 10

  1. \displaystyle \lim_{x\to -2}4x+1.
Função linear é contínua, basta substituir x=-2:
4(-2)+1=-8+1=-7.

Passo 11

  1. (repetido) mesma expressão já calculada no Passo 2; resultado:
\frac{1}{2}.

Passo 12

  1. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
Técnica: racionalizar o numerador:
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.
Agora x\to 0:
\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}.

Passo 13

  1. (repetido) mesmo resultado do passo anterior: \tfrac{1}{2}.

Passo 14

  1. \displaystyle \lim_{x\to -1}(-x^{2}-2x+3).
Função polinomial contínua; substitui x=-1:
-(-1)^{2}-2(-1)+3=-1+2+3=4.

Passo 15

  1. \displaystyle \lim_{x\to \tfrac{1}{2}}\frac{4x^{2}-1}{2x-1}.
Observa-se fator no numerador: 4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1). Cancelando (2x-1) (para x\neq 1/2):
2x+1.
Substituindo x=\tfrac{1}{2}:
2\cdot\frac{1}{2}+1=1+1=2.

Passo 16

  1. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}.
Polinômios no numerador e denominador; função contínua no ponto, basta substituir x=0:
\frac{0+0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}.

Passo 17

  1. \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}.
Interpretação: é o derivado de f(x)=x^{1/3} no ponto x=3. A derivada de x^{1/3} é \tfrac{1}{3}x^{-2/3}. Portanto:
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}=f'(3)=\frac{1}{3}\,3^{-2/3}=\frac{1}{3\cdot 3^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}.
(Alternativamente pode-se racionalizar usando identidade para diferenças de raízes cúbicas, mas a interpretação via derivada é direta.)

Passo 18

  1. (repetido) mesmo que no Passo 16: -\tfrac{1}{2}.

Passo 19

  1. (repetido) mesmo que no Passo 17: \dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}}.

Passo 20

  1. (repetido) mesmo que no Passo 3: \dfrac{1}{8}.

Passo 21

  1. (repetido) mesmo que no Passo 4: -\dfrac{2}{5}.

Passo 22

  1. \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}.
Técnica: racionalizar numerador e usar fator comum. Primeiro racionaliza o numerador multiplicando por \sqrt{2x+1}+3:
\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} =\frac{2x+1-9}{(\sqrt{2x+1}+3)(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})} =\frac{2(x-4)}{(\sqrt{2x+1}+3)(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})}.
Agora o denominador \sqrt{x-2}-\sqrt{2} pode ser escrito usando sua conjugada:
\sqrt{x-2}-\sqrt{2}=\frac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}.
Substituindo nisso:
\frac{2(x-4)}{(\sqrt{2x+1}+3)\,\dfrac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}} = \frac{2(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{2x+1}+3}.
Agora faz-se x\to 4:
\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{3+3}=\frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 23

  1. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-q^{2}}-q}.
Antes de resolver, atenção ao domínio: para que \sqrt{x^{2}-q^{2}} seja real para valores x próximos de 0, é necessário que x^{2}-q^{2}\ge 0 em torno de 0. Isso só é possível se q=0. Se q\neq 0 a expressão não é real para x suficientemente próximos de 0 (a menos que se trabalhe com números complexos, mas o enunciado não indica isso). Portanto assumimos que só faz sentido real se q=0.
Tomando q=0, a expressão vira
\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}}-0}=\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{|x|}.
Para x pequeno usamos expansão em série (ou binomial) para \sqrt{p^{2}+x^{2}} com p\neq 0:
\sqrt{p^{2}+x^{2}}=p+\frac{x^{2}}{2p}+o(x^{2}).
Logo o numerador é \dfrac{x^{2}}{2p}+o(x^{2}). Assim a razão é aproximadamente
\frac{\dfrac{x^{2}}{2p}}{|x|}=\frac{|x|}{2p}\to 0\quad\text{quando }x\to 0.
Portanto, sob a condição necessária q=0 (para existência real da expressão), o limite é 0. Se q\neq 0 não há limite real porque a expressão não é real para x perto de 0.

Passo 24

  1. \displaystyle \lim_{u\to -2}\frac{u^{3}+4u^{2}+4u}{(u+2)(u-3)}.
Fatora o numerador:
u^{3}+4u^{2}+4u = u(u^{2}+4u+4)=u(u+2)^{2}.
Então:
\frac{u(u+2)^{2}}{(u+2)(u-3)}=\frac{u(u+2)}{u-3}\quad (u\neq -2).
Agora substituir u=-2:
\frac{(-2)(0)}{-5}=0.

Passo 25

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}.
Definição de derivada: é o derivado de \operatorname{sen} x no ponto x. A derivada é \cos x. Portanto o limite é \cos x.

Passo 26

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.
Pelo mesmo raciocínio de derivada, a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x. Portanto o limite vale -\operatorname{sen} x.

Passo 27

  1. (repetido) mesmo resultado: -\operatorname{sen} x.

Passo 28

  1. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}.
Fatora numerador: x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1). Verifica-se que o denominador também se anula em x=1, então tenta-se dividir por (x-1). Fazendo divisão de polinômios:
x^{4}+3x-4=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+4).
Cancelando (x-1):
\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+4}.
Substituindo x=1:
\frac{1+1+1}{1+1+1+4}=\frac{3}{7}.

Passo 29

  1. \displaystyle \lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}.
Técnica mais simples: reconhecer que isso é razão de diferenciais — usar derivadas das funções envolvidas no ponto. Para funções contínuas diferenciáveis, quando ambas as diferenças tendem a zero, o limite é a razão das derivadas em pontos correspondentes.
Derivada de \sqrt{x} em x=7 é \tfrac{1}{2\sqrt{7}}. Derivada de \sqrt{x+7} em x=7 é \tfrac{1}{2\sqrt{x+7}}\big|_{x=7}=\tfrac{1}{2\sqrt{14}}. Assim o limite é
\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{7}}}{\tfrac{1}{2\sqrt{14}}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}}=\sqrt{2}.

Passo 30

  1. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}.
Usando derivadas (ou racionalização): derivada do numerador em x=1 é \tfrac{1}{2\sqrt{x}}\big|_{1}=\tfrac{1}{2}. Derivada do denominador é \tfrac{1}{2\sqrt{2x+3}}\cdot 2=\tfrac{1}{\sqrt{2x+3}}; em x=1 \tfrac{1}{\sqrt{5}}. Assim a razão é
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 31

  1. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}.
Interpretação: derivada de f(x)=x^{1/4} em x=2:
f'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4},
logo
f'(2)=\frac{1}{4}2^{-3/4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2^{3}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{8}}.

Passo 32

  1. \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{p}}{x-p}.
Derivada de x^{1/5} no ponto p (assumindo p\neq0 se necessário):
\frac{1}{5}p^{-4/5}=\frac{1}{5p^{4/5}}.

Passo 33

  1. \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{\sqrt{y+x-p}-\sqrt{y}}{x-p}.
Faz a mudança h=x-p. Quando x\to p, h\to 0. A expressão torna-se
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{y+h}-\sqrt{y}}{h},
que é o derivado de \sqrt{t} em t=y, logo
\frac{1}{2\sqrt{y}},
desde que y>0 (para a raiz real).

Passo 34

  1. \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}.
Fatorando x^{3}-2^{3}=(x-2)(x^{2}+2x+4) e cancelando:
x^{2}+2x+4
avaliado em x=2:
4+4+4=12.

Passo 35

  1. \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}.
Fatorando x^{4}-a^{4}=(x-a)(x^{3}+x^{2}a+xa^{2}+a^{3}). Cancelando (x-a) e substituindo x=a:
a^{3}+a^{3}+a^{3}+a^{3}=4a^{3}.

Passo 36

  1. (repetido) já calculado no Passo 6: \dfrac{1}{2\sqrt{x}} (para x>0).

Passo 37

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo o binômio:
(x+h)^{3}-x^{3}=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Dividindo por h:
3x^{2}+3xh+h^{2}.
Fazendo h\to 0 obtém-se
3x^{2}.
Esse é o derivado de x^{3}.

Passo 38

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^{2}}-\sqrt[3]{x^{2}}}{h}.
Interpretação: função F(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=t^{2/3}. O quociente é o diferencial de F no ponto x. Derivada:
F'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.
Observação: válida para x\neq 0.

Passo 39

  1. \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}.
Simplifica-se a expressão antes de passar ao limite. O numerador fatoriza parcialmente:
\frac{(x+h)^{3}-5(x+h)^{2}}{x+h}=\frac{(x+h)^{2}\bigl((x+h)-5\bigr)}{x+h}=(x+h)\bigl((x+h)-5\bigr).
Logo para h\neq -x a expressão é (x+h)(x+h-5). Fazendo h\to 0:
x(x-5)=x^{2}-5x.

Resposta

\tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{8}
-\tfrac{2}{5}
\operatorname{sec}^{2}x
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\dfrac{3}{2}\sqrt{x}
\dfrac{1}{2a^{3/2}}
80
-7
\tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{2}
4
2
-\tfrac{1}{2}
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}}
-\tfrac{1}{2}
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{9}}
\tfrac{1}{8}
-\tfrac{2}{5}
\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
0 (observação: existe como real somente se q=0; caso q\neq0 a expressão não é real para x perto de 0)
0
\cos x
-\operatorname{sen} x
-\operatorname{sen} x
\tfrac{3}{7}
\sqrt{2}
\dfrac{\sqrt{5}}{2}
\dfrac{1}{4\sqrt[4]{8}}
\dfrac{1}{5p^{4/5}}
\dfrac{1}{2\sqrt{y}}
12
4a^{3}
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
3x^{2}
\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}
x^{2}-5x

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