Calcular os seguintes limites:
13)
13)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A variável que tende a um valor é
e o ponto de interesse é . - O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
.
Pergunta clara: determinar o valor de
Passo 2
Tentar substituição direta para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em
:
Como ambos numerador e denominador são
em
, a forma é
, que é indeterminada — não podemos concluir o valor do limite só por substituição.
Passo 3
Explicação didática do que fazer com
: quando uma expressão racional de polinômios dá
ao substituir, frequentemente existe um fator comum em numerador e denominador que anula o problema. Podemos fatorar polinômios e simplificar a fração; isso é permitido porque o limite só usa valores de
próximos de
mas diferentes de
. Uma ferramenta útil: se
é raiz de um polinômio, então
é fator desse polinômio (teorema do resto / fator).
Passo 4
Fatorar o numerador passo a passo. Primeiro colocar um fator comum
:
Agora fatorar a quadrática
. Procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
: são
e
. Logo
Portanto o numerador fatorado é
Passo 5
Fatorar o denominador
. Procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
: são
e
. Assim
Passo 6
Escrever a expressão original com as fatorações:
Agora observar que há um fator comum
no numerador e no denominador. Para
podemos cancelar esse fator, obtendo a expressão equivalente para
próximos de
:
Justificativa: o limite
depende dos valores arbitrariamente próximos de
, não do valor exatamente em
; portanto a simplificação é válida para computar o limite.
Passo 7
Calcular o limite da expressão simplificada substituindo
: