Calcular os seguintes limites:
13) \lim _{t \rightarrow-2}\left[\frac{t^{3}+3 t^{2}+2 t}{t^{2}-t-6}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando t tende a -2 da expressão
\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a um valor é t e o ponto de interesse é t\to -2.
  • O numerador é o polinômio t^{3}+3t^{2}+2t.
  • O denominador é o polinômio t^{2}-t-6.
    Pergunta clara: determinar o valor de
\lim_{t\to -2}\left[\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}\right].

Passo 2

Tentar substituição direta para ver se o limite é imediato. Calcular numerador e denominador em t=-2:
(-2)^{3}+3(-2)^{2}+2(-2) = -8 + 12 -4 = 0,
(-2)^{2}-(-2)-6 = 4 + 2 - 6 = 0.
Como ambos numerador e denominador são 0 em t=-2, a forma é 0/0, que é indeterminada — não podemos concluir o valor do limite só por substituição.

Passo 3

Explicação didática do que fazer com 0/0: quando uma expressão racional de polinômios dá 0/0 ao substituir, frequentemente existe um fator comum em numerador e denominador que anula o problema. Podemos fatorar polinômios e simplificar a fração; isso é permitido porque o limite só usa valores de t próximos de -2 mas diferentes de -2. Uma ferramenta útil: se r é raiz de um polinômio, então (t-r) é fator desse polinômio (teorema do resto / fator).

Passo 4

Fatorar o numerador passo a passo. Primeiro colocar um fator comum t:
t^{3}+3t^{2}+2t = t\left(t^{2}+3t+2\right).
Agora fatorar a quadrática t^{2}+3t+2. Procuramos dois números cujo produto seja 2 e soma seja 3: são 1 e 2. Logo
t^{2}+3t+2 = (t+1)(t+2).
Portanto o numerador fatorado é
t^{3}+3t^{2}+2t = t(t+1)(t+2).

Passo 5

Fatorar o denominador t^{2}-t-6. Procuramos dois números cujo produto seja -6 e soma seja -1: são -3 e 2. Assim
t^{2}-t-6 = (t-3)(t+2).

Passo 6

Escrever a expressão original com as fatorações:
\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6} = \frac{t(t+1)(t+2)}{(t-3)(t+2)}.
Agora observar que há um fator comum (t+2) no numerador e no denominador. Para t\neq -2 podemos cancelar esse fator, obtendo a expressão equivalente para t próximos de -2:
\frac{t(t+1)(t+2)}{(t-3)(t+2)} = \frac{t(t+1)}{t-3}\quad\text{(para }t\neq -2\text{)}.
Justificativa: o limite \lim_{t\to -2} depende dos valores arbitrariamente próximos de -2, não do valor exatamente em -2; portanto a simplificação é válida para computar o limite.

Passo 7

Calcular o limite da expressão simplificada substituindo t=-2:
\lim_{t\to -2}\frac{t(t+1)}{t-3} = \frac{(-2)(-2+1)}{-2-3} = \frac{(-2)(-1)}{-5} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}.

Resposta

-\dfrac{2}{5}

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