Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
lim x 0 y sin xx y+2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0ysin xx y + 2x,
onde y é tratado como parâmetro constante. O conteúdo aqui é usar fatoração e a conhecida equivalência sin x sim x quando xto0.

Passo 2

No denominador, podemos fatorar x:
x y + 2x = x,(y+2)

Passo 3

Reescrevendo a fração, temos
ysin xx y + 2x = ysin xx,(y+2) = yy+2,sin xx

Passo 4

Como limxto0sin xx=1, segue
limxto0ysin xx y + 2x = yy+2cdot1 = yy+2

Passo 5

Para que isso faça sentido devemos ter y+2neq0, ou seja, yneq -2. Se y=-2, o denominador é zero para todo x e a expressão nem está definida perto de x=0.

Resposta

limxto0ysin xx y + 2x =yy+2, yneq -2

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