Mostre que a equaçaio representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
16 x^2+16 y^2+8 x+32 y+1=0

Passo 1

Vamos mostrar que a equação 16 x^2 + 16 y^2 + 8 x + 32 y + 1 = 0 representa uma circunferência. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre formas padrão de equações de circunferências e a técnica de completar o quadrado, que nos ajuda a identificar o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, percebemos que os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais (ambos são 16). Isso é uma boa indicação de que a equação pode representar uma circunferência, já que na forma padrão de uma circunferência, os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais.

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 16 para facilitar o cálculo:
16 x^216 + 16 y^216 + 8 x16 + 32 y16 + 116 = 0
Simplificando:
x^2 + y^2 + 12x + 2y + 116 = 0

Passo 4

Agora, reorganizamos a equação para preparar a completação do quadrado:
x^2 + 12x + y^2 + 2y = -116
Vamos completar o quadrado para os termos de x e de y:
  • Para x:
    • Pegamos o coeficiente de x, que é 12, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (14)^2 = 116.
    • Adicionamos 116 a ambos os lados da equação.
  • Para y:
    • Pegamos o coeficiente de y, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: 1^2 = 1.
    • Adicionamos 1 a ambos os lados da equação.
Assim, a equação fica:
x^2 + 12x + 116 + y^2 + 2y + 1 = -116 + 116 + 1
Simplificando:
(x + 14)^2 + (y + 1)^2 = 1

Resposta

A equação representa uma circunferência com centro em (-14,, -1) e raio igual a 1.

Exercícios relacionados