Calcule os limites:
lim x 0 x^5+x^3+7x^4+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 para a função x^5 + x^3 + 7x^4 + x. Vamos precisar usar conceitos de limites e entender como se comportam funções polinomiais quando x se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de 0.
  • Numerador: x^5 + x^3 + 7
    Quando x se aproxima de 0:
x^5 0, x^3 0, então x^5 + x^3 + 7 7 ã
  • Denominador: x^4 + x
    Quando x se aproxima de 0:
x^4 0, x 0, então x^4 + x 0 ã

Passo 3

Agora, vamos colocar isso tudo junto no limite:
limx 0 x^5 + x^3 + 7x^4 + x = 70
Aqui, estamos dividindo um número diferente de zero (7) por algo que está se aproximando de zero. Isso geralmente significa que o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo de como o denominador se comporta à medida que x se aproxima de 0.

Passo 4

Para entender melhor, vamos analisar de que lado x está se aproximando de 0:
  • Quando x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+ ):
    x é positivo, então x^4 + x é positivo e se aproxima de 0. Portanto:
7x^4 + x +infty
  • Quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x 0^- ):
    x é negativo, então x^4 + x é negativo e se aproxima de 0. Portanto:
7x^4 + x -infty

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite limx 0 x^5 + x^3 + 7x^4 + x não existe.

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