Calcule os limites:
lim x +infty(raizx^2+5 x-raizx^2-5 x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(raizx^2+5x-raizx^2-5xr)
O conteúdo envolve técnicas de limites que lidam com diferenças de raízes de expressões quadráticas em x. Para resolver, vamos usar fatoração dentro da raiz e racionalização (multiplicar pela conjugada).

Passo 2

Observe que, para x>0, podemos fatorar x^2 dentro de cada raiz:
raizx^2pm5x = raizx^2l(1pm5xr) = x,raiz1pm5x
Assim a expressão vira
raizx^2+5x-raizx^2-5x = xl(raiz1+tfrac5x-raiz1-tfrac5xr)

Passo 3

Para eliminar a diferença de raízes, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
raiz1+tfrac5x-raiz1-tfrac5x = l(raiz1+tfrac5x-raiz1-tfrac5xr)l(raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5xr) raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x = l(1+tfrac5xr)-l(1-tfrac5xr) raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x = tfrac10xraiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x
Multiplicando por x, obtemos
raizx^2+5x-raizx^2-5x = xcdottfrac10xraiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x = 10raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x

Passo 4

Agora avaliamos o limite de
10raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x
quando xto+infty. Como tfrac5xto0, pela continuidade das raízes, temos
limxto+inftyl(raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5xr) = raiz1+raiz1=2,
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limxto+infty10raiz1+tfrac5x+raiz1-tfrac5x = 102=5

Resposta

5

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