Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
lim y 0 e^x y-1x y

Passo 1

O enunciado pede
limyto 0e^x y-1x y,
que é um limite com forma indeterminada 0/0. O conteúdo da matéria é cálculo de limites envolvendo exponencial e indeterminações do tipo 0/0. Para resolver vamos usar a expansão em série de Taylor de e^t em torno de t=0.

Passo 2

Primeiro confirmamos a indeterminação: quando yto 0 temos
e^x y-1;longrightarrow;e^0-1=0 e x y;longrightarrow;xcdot 0=0,
logo a expressão é da forma 0/0.

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de e^t em torno de t=0:
e^t = 1 + t + t^22 + O(t^3)
Substituindo t = x y obtemos
e^x y = 1 + x y + (x y)^22 + Ol((x y)^3r),
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e^x y-1 = x y + (x y)^22 + Ol((x y)^3r)

Passo 4

Agora dividimos pelo denominador x y:
e^x y-1x y = x y + tfrac(x y)^22 + Ol((x y)^3r)x y = 1 + x y2 + Ol((x y)^2r)
À medida que yto 0, os termos tfracx y2 e Ol((x y)^2r) tendem a zero.

Resposta

limyto 0e^x y-1x y = 1

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