Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.

Passo 1

O enunciado pede
limtto pi2l[(tfracpi2-t)tan t,vecimath ;+;t,vecjmath;-;t,vec kr]
Como se trata de um limite de função vetorial, vamos calcular o limite de cada componente (i, j e k) separadamente, usando as regras usuais de limites e identidades trigonométricas.

Passo 2

Para as componentes em vecjmath e vec k temos limites diretos de funções escalares:
limtto pi2t = pi2,
então a componente em vecjmath tende a tfracpi2 e a componente em vec k tende a
limtto pi2(-t) = -pi2

Passo 3

Falta a componente em vecimath, que é
(tfracpi2-t),tan t
Ao substituir tto tfracpi2 obtemos (0)cdot(infty), forma indeterminada. Para resolver, fazemos a mudança de variável
u = pi2 - t,
de modo que uto0 quando ttotfracpi2. Note que
tan t = tanl(tfracpi2-ur) = cot u
Logo a expressão vira
u;cot u = u,cos usin u

Passo 4

Usando o limite fundamental
limuto0sin uu = 1
temos
limuto0u,cos usin u =limuto0cos usin u/u =cos01 =1
Portanto
limtto pi2(tfracpi2-t)tan t = 1

Passo 5

Reunindo as três componentes, o limite do vetor é
1,vecimath ;+;pi2,vecjmath;-;pi2,vec k

Resposta

boxedvecimath + pi2,vecjmath - pi2,vec k

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