Utilize o teste da integral para verificar se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n^2+n^3=sumn=1^infty(1n^2-1n+1n+1)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série de termos positivos
sumn=1^infty1n^2+n^3,
Aqui o conteúdo é o Teste da Integral: se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>=1 e definimos an=f(n), então a série sum an converge se, e somente se, a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=1x^2+x^3=1x^2(1+x),, x>=1
  1. f é contínua e positiva em [1,infty) porque o denominador nunca zera.
  2. Para ver que f é decrescente, observe que xmapsto x^2(1+x) cresce para x>=1, logo seu inverso f(x) decresce.
Assim podemos aplicar o teste da integral a f.

Passo 3

Vamos calcular
integral1^infty1x^2(1+x),dx
Fazendo frações parciais em
1x^2(1+x)=Ax+Bx^2+C1+x,
vemos que A=-1, B=1 e C=1. Então
1x^2(1+x) =-1x+1x^2+11+x
Integramos termo a termo:
integral1^t!l(-1x+1x^2+1x+1r)dx =l[-ln x-tfrac1x+ln(x+1)r]1^t

Passo 4

Avaliamo o limite quando ttoinfty:
limttoinftyl(-ln t+ln(t+1)-tfrac1tr) -l(-ln1+ln2-tfrac11r) =0-(0+ln2-1)=1-ln2,
que é finito. Logo a integral converge. Pelo teste da integral, a série
sumn=1^infty1/(n^2+n^3) também converge.

Resposta

A série converge.

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