Utilize o teste da integral para verificar se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série de termos positivos
Aqui o conteúdo é o Teste da Integral: se
é contínua, positiva e decrescente para
e definimos
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Passo 2
Definimos
-
é contínua e positiva em porque o denominador nunca zera. - Para ver que
é decrescente, observe que cresce para , logo seu inverso decresce.
Assim podemos aplicar o teste da integral a
.
Passo 3
Vamos calcular
Fazendo frações parciais em
vemos que
,
e
. Então
Integramos termo a termo:
Passo 4
Avaliamo o limite quando
:
que é finito. Logo a integral converge. Pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série converge.