[Filho e Silva, p.586] Considere os polinômios P(x)=x^3-x e Q(x)=3 x^4+6 x^3-x^2+ 2 x-4, calcule as operações abaixo e escreva o grau do polinômio obtido.
[P(x)]^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois polinômios aqui: P(x) = x^3 - x e Q(x) = 3x^4 + 6x^3 - x^2 + 2x - 4 . A tarefa é calcular [P(x)]^2 e descobrir o grau do polinômio resultante. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre operações com polinômios e propriedades dos expoentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa elevar um polinômio ao quadrado. Isso quer dizer multiplicar o polinômio por ele mesmo. Então, [P(x)]^2 = P(x) times P(x) .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação: (x^3 - x) times (x^3 - x) . Para multiplicar dois binômios, usamos a distributiva, multiplicando cada termo de um polinômio por cada termo do outro.

Passo 4

Multiplicando termo a termo:
  • x^3 times x^3 = x^6 (somamos os expoentes: 3 + 3)
  • x^3 times (-x) = -x^4 (3 + 1)
  • (-x) times x^3 = -x^4 (1 + 3)
  • (-x) times (-x) = x^2 (1 + 1)

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados:
x^6 - x^4 - x^4 + x^2

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:
x^6 - 2x^4 + x^2

Passo 7

O grau de um polinômio é o maior expoente presente nele. No nosso caso, o maior expoente é 6.

Resposta

[P(x)]^2 = x^6 - 2x^4 + x^2
O grau do polinômio obtido é 6.

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