Seja f(t)=sin t imath+cos t jmath+2 k e h(t)=1t. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites.
lim t 0[h(t) cdot f(t)]

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto0, do produto escalar de h(t)=tfrac1t pela função vetorial
vec f(t)=sin t,vecimath+cos t,vecjmath+2,vec k
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função vetorial feito componente a componente.

Passo 2

Vamos escrever o produto escalar h(t)cdotvec f(t) em termos de suas componentes:
h(t),vec f(t) =1tl(sin t,vecimath+cos t,vecjmath+2,vec kr) =l(sin ttr)vecimath+l(cos ttr)vecjmath+l(2tr)vec k

Passo 3

Analisando componente a componente quando tto0:
  1. limtto0sin tt=1.
  2. limtto0cos tt não é finito, pois cos tto1 e divide-se por tto0, gerando divergência.
  3. limtto02t também diverge, pois 2 é constante e divide por tto0.

Passo 4

Como pelo menos duas componentes (a de vecjmath e a de vec k) divergem, o limite vetorial não existe.

Resposta

O limite limtto0h(t),vec f(t) não existe, pois suas componentes em vecjmath e vec k divergem.

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