Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.
lim t 1lang<=sin (t-1)t^2-1, t,-1rang<=

Passo 1

O enunciado pede
limtto1gllang<= sin(t-1)t^2-1,,t,,-1grrang<=.
O conteúdo aqui é limite de função vetorial de variável real, e vamos usar que o limite do vetor é o vetor dos limites de cada componente (quando existem).

Passo 2

Pelo teorema de limites de funções vetoriais, se
f(t)=l(f1(t),,f2(t),,f3(t)r),
e os limites limtto1fi(t) existem, então
limtto1f(t) =l(limtto1f1(t),,limtto1f2(t),,limtto1f3(t)r)
Aqui f1(t)=sin(t-1)t^2-1, f2(t)=t e f3(t)=-1.

Passo 3

Calcular L1=limtto1sin(t-1)t^2-1.
Notamos forma tfrac00. Fatoramos o denominador:
t^2-1=(t-1)(t+1),
então
sin(t-1)t^2-1 =sin(t-1)t-1;cdot;1t+1
Como tto1, t-1to0 e vale limxto0sin xx=1, além de t+1to2. Logo
L1 =limtto1sin(t-1)t^2-1 =1cdot12 =12

Passo 4

Calcular L2=limtto1t.
Por continuidade da função identidade,
L2=1

Passo 5

Calcular L3=limtto1(-1).
Como é constante,
L3=-1

Resposta

limtto1gllang<= sin(t-1)t^2-1,,t,,-1grrang<= =llang<= tfrac12,;1,;-1rrang<=

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