Calcule a integral dupla invertendo a ordem de integração
integral0^1 integralx^2^1 x^3 sen(y^3) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integralx^2^1x^3sinl(y^3r),dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região de integração R em termos de (x,y):
R = (x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1
Para inverter, parametrizamos por y primeiro: como x^2<= y<=1 e 0<= x<=1, segue que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a raizy.

Passo 3

Assim a integral vira
integral0^1integral0^raizyx^3sinl(y^3r),dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integral0^raizyx^3,dx =[x^44]0^raizy =(raizy)^44 =y^24
Logo a dupla reduz-se a
integral0^1y^24,sinl(y^3r),dy =14integral0^1y^2sinl(y^3r),dy

Passo 5

Fazemos a substituição t=y^3, de onde dt=3y^2dy, ou seja y^2dy=dt/3. Então
14integral0^1y^2sinl(y^3r),dy =14integralt=0^1sin(t),dt3 =112integral0^1sin(t),dt

Passo 6

Basta agora integrar sin(t):
112integral0^1sin(t),dt =112l[-cos(t)r]0^1 =112l(1-cos(1)r)

Resposta

integral0^1integralx^2^1x^3sinl(y^3r),dy,dx =1-cos(1)12

Exercícios relacionados