Calcular os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h}.
Informações e observações dadas:
  • A expressão envolve radicais \sqrt{\cdot}, logo para que tudo faça sentido em números reais é necessário que os argumentos dos radicais sejam não negativos quando considerarmos o limite bilateral.
  • Não foi dada restrição explícita sobre a. Portanto será preciso tratar os casos possíveis de a (por exemplo a>0, a=0, a<0).
  • A pergunta é apenas o limite acima; não foram fornecidas imagens nem outros dados.

Passo 2

Primeiro passo de resolução (álgebra): usar a técnica de racionalização do numerador. Essa técnica consiste em multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar as raízes. Regra básica usada: para quaisquer números u e v vale
(\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v}) = u-v,
porque é a diferença de quadrados. Aqui tomamos u=a^{3}+h e v=a^{3}. Multiplicando por \dfrac{\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}}{\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}} obtemos:
\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h} = \frac{\big(\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}\big)\big(\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}\big)}{h\big(\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}\big)}.

Passo 3

Agora simplificar o numerador usando a identidade da diferença de quadrados mencionada:
\big(\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}\big)\big(\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}\big) = (a^{3}+h)-a^{3}=h.
Portanto a fração fica
\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h} = \frac{h}{h\big(\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}\big)} = \frac{1}{\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}},
desde que h\neq 0 e o denominador não seja zero (mostrando a simplificação algébrica válida para h próximo de 0, h\neq0).

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Para poder passar ao limite substituindo h=0 na expressão simplificada, precisamos que a função no denominador seja contínua no ponto considerado e que o denominador não se anule no limite. Se a>0 então a^{3}>0 e \sqrt{a^{3}}>0, além disso para h suficientemente pequeno temos \sqrt{a^{3}+h} bem definida (argumento positivo) e a soma \sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}} é positiva. Assim podemos usar continuidade e obter:
\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{a^{3}+h}+\sqrt{a^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{3}+0}+\sqrt{a^{3}}} = \frac{1}{2\sqrt{a^{3}}}.

Passo 5

Interpretação alternativa (útil na prova): a expressão é exatamente a definição de derivada de f(x)=\sqrt{x} no ponto x=a^{3}, i.e.
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{a^{3}+h}-\sqrt{a^{3}}}{h} = f'(a^{3}).
Como f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0, obtemos f'(a^{3})=\dfrac{1}{2\sqrt{a^{3}}}. Isso concorda com o resultado algébrico acima. Aqui foi explicado o motivo de usar essa fórmula: a derivada de \sqrt{x} é obtida por diferenciação básica e vale \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Tratar os demais casos de a:
  • Se a=0: então a expressão vira, para h>0,
\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}},
que tende para +\infty quando h\to 0^{+}. Para h<0 a raiz \sqrt{h} não está definida nos reais, logo o limite bilateral em reais não existe; o limite à direita diverge para +\infty. Portanto não há limite finito quando a=0.
  • Se a<0: então a^{3}<0 e \sqrt{a^{3}} não é real, de modo que a expressão inicial não define uma quantidade real numa vizinhança de h=0. Portanto não faz sentido (no conjunto dos reais) falar em limite bilateral real neste caso, salvo que se estendesse ao complexo (o que não é pedido).

Resposta

Se a>0: \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a^{3}}}=\frac{1}{2a^{3/2}}
Se a=0: o limite bilateral não existe (limite à direita \to+\infty).
Se a<0: a expressão não está definida em reais (não há limite real).

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