Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações dadas:
- A expressão envolve radicais
, logo para que tudo faça sentido em números reais é necessário que os argumentos dos radicais sejam não negativos quando considerarmos o limite bilateral. - Não foi dada restrição explícita sobre
. Portanto será preciso tratar os casos possíveis de (por exemplo , , ). - A pergunta é apenas o limite acima; não foram fornecidas imagens nem outros dados.
Passo 2
Primeiro passo de resolução (álgebra): usar a técnica de racionalização do numerador. Essa técnica consiste em multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar as raízes. Regra básica usada: para quaisquer números
e
vale
porque é a diferença de quadrados. Aqui tomamos
e
. Multiplicando por
obtemos:
Passo 3
Agora simplificar o numerador usando a identidade da diferença de quadrados mencionada:
Portanto a fração fica
desde que
e o denominador não seja zero (mostrando a simplificação algébrica válida para
próximo de
,
).
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Para poder passar ao limite substituindo
na expressão simplificada, precisamos que a função no denominador seja contínua no ponto considerado e que o denominador não se anule no limite. Se
então
e
, além disso para
suficientemente pequeno temos
bem definida (argumento positivo) e a soma
é positiva. Assim podemos usar continuidade e obter:
Passo 5
Interpretação alternativa (útil na prova): a expressão é exatamente a definição de derivada de
no ponto
, i.e.
Como
para
, obtemos
. Isso concorda com o resultado algébrico acima. Aqui foi explicado o motivo de usar essa fórmula: a derivada de
é obtida por diferenciação básica e vale
.
Passo 6
Tratar os demais casos de
:
- Se
: então a expressão vira, para ,
que tende para
quando
. Para
a raiz
não está definida nos reais, logo o limite bilateral em reais não existe; o limite à direita diverge para
. Portanto não há limite finito quando
.
- Se
: então e não é real, de modo que a expressão inicial não define uma quantidade real numa vizinhança de . Portanto não faz sentido (no conjunto dos reais) falar em limite bilateral real neste caso, salvo que se estendesse ao complexo (o que não é pedido).
Resposta
Se
:
Se : o limite bilateral não existe (limite à direita
).
Se : a expressão não está definida em reais (não há limite real).
Se
Se