Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da expressão
Queremos calcular
.
Passo 2
Primeiro tentamos a substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Calculando numerador e denominador em
:
Portanto a forma obtida é
, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar um fator comum
do numerador e do denominador (fator comum é uma técnica básica e muito usada: retirar o menor expoente de
presente em todos os termos).
Fatorando,
Fatorando,
Passo 4
Substituindo as fatorações na razão original obtemos (para
):
Como
podemos cancelar o
comum:
Essa expressão é equivalente à original para todo
perto de
, exceto possivelmente em
(mas para limite isso não importa).
Passo 5
Agora usamos que polinômios e funções racionais (quando o denominador não é zero) são contínuos: o limite de uma função contínua em um ponto é o valor da função naquele ponto. A função simplificada
é contínua em
porque o denominador em
é
. Logo podemos simplesmente substituir
na expressão simplificada para obter o limite:
Passo 6
Resumo curto do raciocínio (para a prova): identificar a indeterminação
, fatorar e cancelar o fator comum, obter função contínua e avaliar em
.