Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}.
Queremos calcular \lim_{x\to 0}\left[\dfrac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}\right].

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Calculando numerador e denominador em x=0:
4\cdot0^{3}-2\cdot0^{2}+0 = 0, \qquad 3\cdot0^{2}+2\cdot0 = 0.
Portanto a forma obtida é 0/0, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar um fator comum x do numerador e do denominador (fator comum é uma técnica básica e muito usada: retirar o menor expoente de x presente em todos os termos).
Fatorando,
4x^{3}-2x^{2}+x = x\,(4x^{2}-2x+1),
3x^{2}+2x = x\,(3x+2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na razão original obtemos (para x\neq 0):
\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x} = \frac{x\,(4x^{2}-2x+1)}{x\,(3x+2)}.
Como x\neq 0 podemos cancelar o x comum:
\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2}.
Essa expressão é equivalente à original para todo x perto de 0, exceto possivelmente em x=0 (mas para limite isso não importa).

Passo 5

Agora usamos que polinômios e funções racionais (quando o denominador não é zero) são contínuos: o limite de uma função contínua em um ponto é o valor da função naquele ponto. A função simplificada \dfrac{4x^{2}-2x+1}{3x+2} é contínua em x=0 porque o denominador em 0 é 2\neq 0. Logo podemos simplesmente substituir x=0 na expressão simplificada para obter o limite:
\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2} = \frac{4\cdot0^{2}-2\cdot0+1}{3\cdot0+2} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Resumo curto do raciocínio (para a prova): identificar a indeterminação 0/0, fatorar e cancelar o fator comum, obter função contínua e avaliar em x=0.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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