Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a um valor é
, com . - A expressão é uma fração cujo numerador é
e denominador é .
O que se pede: encontrar o valor desse limite em função de.
Passo 2
Verificar a tentativa de substituição direta: se eu substituir
no numerador e no denominador, obtenho
que é uma forma indeterminada. Logo não posso apenas substituir; preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Usar fatoração para simplificar a expressão. Lembre que a diferença de quadrados vale
Aplicando isso em cadeia, a diferença de quartas pode ser escrita como diferença de quadrados duas vezes:
E usando novamente a diferença de quadrados em
temos
Portanto, combinando,
Passo 4
Substituir a fatoração na fração original e simplificar (válido para
, que é o caso quando consideramos limites):
Explique por que isso é legítimo: ao calcular limite
podemos simplificar fatores que são iguais e não nulos para
próximos de
; o comportamento da função perto de
é preservado.
Passo 5
Agora vamos usar uma propriedade importante: polinômios são funções contínuas em todos os pontos. A continuidade significa que, para uma função polinomial
,
A expressão obtida é produto de polinômios, portanto é contínua. Assim
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica do valor obtido em termos de
. Primeiro escrever a soma e depois multiplicar:
Não farei a multiplicação final nesta etapa para não antecipar a seção de resposta, mas o cálculo é a continuação direta da simplificação algébrica acima.
Passo 7
Observação alternativa (opcional, para entendimento extra): a expressão original é exatamente o quociente diferencial que define a derivada de
em
:
Como
, obtemos
, confirmando o resultado encontrado por fatoração.