Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a um valor é x, com x\to a.
  • A expressão é uma fração cujo numerador é x^{4}-a^{4} e denominador é x-a.
    O que se pede: encontrar o valor desse limite em função de a.

Passo 2

Verificar a tentativa de substituição direta: se eu substituir x=a no numerador e no denominador, obtenho
\frac{a^{4}-a^{4}}{a-a}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Logo não posso apenas substituir; preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Usar fatoração para simplificar a expressão. Lembre que a diferença de quadrados vale
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Aplicando isso em cadeia, a diferença de quartas pode ser escrita como diferença de quadrados duas vezes:
x^{4}-a^{4}=(x^{2})^{2}-(a^{2})^{2}=(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2}).
E usando novamente a diferença de quadrados em x^{2}-a^{2} temos
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Portanto, combinando,
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2}).

Passo 4

Substituir a fatoração na fração original e simplificar (válido para x\neq a, que é o caso quando consideramos limites):
\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2})}{x-a}=(x+a)(x^{2}+a^{2}).
Explique por que isso é legítimo: ao calcular limite \lim_{x\to a} podemos simplificar fatores que são iguais e não nulos para x próximos de a; o comportamento da função perto de a é preservado.

Passo 5

Agora vamos usar uma propriedade importante: polinômios são funções contínuas em todos os pontos. A continuidade significa que, para uma função polinomial p(x),
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
A expressão obtida é produto de polinômios, portanto é contínua. Assim
\lim_{x\to a}(x+a)(x^{2}+a^{2})=(a+a)(a^{2}+a^{2}).

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica do valor obtido em termos de a. Primeiro escrever a soma e depois multiplicar:
(a+a)(a^{2}+a^{2})=2a\cdot 2a^{2}.
Não farei a multiplicação final nesta etapa para não antecipar a seção de resposta, mas o cálculo é a continuação direta da simplificação algébrica acima.

Passo 7

Observação alternativa (opcional, para entendimento extra): a expressão original é exatamente o quociente diferencial que define a derivada de f(x)=x^{4} em x=a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Como f'(x)=4x^{3}, obtemos f'(a)=4a^{3}, confirmando o resultado encontrado por fatoração.

Resposta

\,4a^{3}

Exercícios relacionados