Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: o numerador é
, e o denominador é
. O ponto de interesse é
.
Passo 2
Teste de substituição direta: tentar pôr
na expressão para ver se o limite é simplesmente o valor da função.
Passo 3
Interpretação do resultado da substituição: obtivemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — precisamos simplificar a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 4
Estratégia: fatorar numerador e denominador e verificar se há fator comum que se cancele. Vamos fatorar cada polinômio passo a passo.
Fatorando o numerador
.
Procuramos dois números cujo produto seja e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo:
Procuramos dois números cujo produto seja
Passo 5
Fatorando o denominador
.
Procuramos dois números cujo produto seja e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo:
Procuramos dois números cujo produto seja
Passo 6
Reescrever a fração com as fatorações e cancelar o fator comum
. Como estamos calculando limite quando
(e não o valor da função em
), é legítimo simplificar para
e depois tomar o limite.
Passo 7
Agora a função simplificada
é contínua em
(pois o denominador em
é
). Assim o limite é dado pela substituição direta nessa expressão simplificada.
Passo 8
Comentário didático rápido: o procedimento usado — fatorar e cancelar fatores que causam indeterminação — é o método mais direto para esse tipo de limite racional. Outra alternativa, quando a fatoração for difícil, é usar a regra de l’Hôpital (aplicar derivadas), mas aqui a fatoração é simples e mais rápida.