Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-12 x+20}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 2}\left[\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}\right].
Informações dadas: o numerador é \,x^{2}-5x+6, e o denominador é \,x^{2}-12x+20. O ponto de interesse é x=2.

Passo 2

Teste de substituição direta: tentar pôr x=2 na expressão para ver se o limite é simplesmente o valor da função.
\text{Numerador em }x=2:\quad 2^{2}-5\cdot2+6=4-10+6=0.
\text{Denominador em }x=2:\quad 2^{2}-12\cdot2+20=4-24+20=0.

Passo 3

Interpretação do resultado da substituição: obtivemos 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo — precisamos simplificar a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 4

Estratégia: fatorar numerador e denominador e verificar se há fator comum que se cancele. Vamos fatorar cada polinômio passo a passo.
Fatorando o numerador \,x^{2}-5x+6.
Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja -5. Esses números são -2 e -3. Logo:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 5

Fatorando o denominador \,x^{2}-12x+20.
Procuramos dois números cujo produto seja 20 e cuja soma seja -12. Esses números são -10 e -2. Logo:
x^{2}-12x+20=(x-10)(x-2).

Passo 6

Reescrever a fração com as fatorações e cancelar o fator comum (x-2). Como estamos calculando limite quando x\to2 (e não o valor da função em x=2), é legítimo simplificar para x\neq2 e depois tomar o limite.
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-10)}=\frac{x-3}{x-10}\quad\text{para }x\neq2.

Passo 7

Agora a função simplificada \,\dfrac{x-3}{x-10}\, é contínua em x=2 (pois o denominador em x=2 é -8\neq0). Assim o limite é dado pela substituição direta nessa expressão simplificada.
\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x-10}=\frac{2-3}{2-10}=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}.

Passo 8

Comentário didático rápido: o procedimento usado — fatorar e cancelar fatores que causam indeterminação — é o método mais direto para esse tipo de limite racional. Outra alternativa, quando a fatoração for difícil, é usar a regra de l’Hôpital (aplicar derivadas), mas aqui a fatoração é simples e mais rápida.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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