Calcular os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow-2}\left[\frac{t^{3}+3 t^{2}+2 t}{t^{2}-t-6}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t\to-2}\left[\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6}\right].
Informações importantes dadas:
  • A expressão é uma função racional (fração de polinômios).
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é t=-2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituição direta para ver se a expressão tem valor definido ou se aparece uma forma indeterminada. Calcular numerador e denominador em t=-2.
Numerador:
(-2)^{3}+3(-2)^{2}+2(-2) = -8 + 12 - 4 = 0
Denominador:
(-2)^{2}-(-2)-6 = 4 + 2 - 6 = 0
Como numerador e denominador valem ambos 0, a expressão assume a forma indeterminada 0/0. Isso indica que provavelmente há um fator comum que podemos simplificar — vamos fatorar os polinômios.

Passo 3

Fatorar o numerador t^{3}+3t^{2}+2t. Primeiro, tirar fator comum t:
t^{3}+3t^{2}+2t = t\bigl(t^{2}+3t+2\bigr).
Agora fatorar a quadrática t^{2}+3t+2. Procura-se dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja 3 (coeficiente do termo linear). Esses números são 1 e 2. Logo:
t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2).
Portanto o numerador fatorado é
t^{3}+3t^{2}+2t = t(t+1)(t+2).

Passo 4

Fatorar o denominador t^{2}-t-6. Procura-se dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja -1. Esses números são -3 e 2. Assim:
t^{2}-t-6=(t-3)(t+2).

Passo 5

Substituir as fatorações na fração original:
\frac{t^{3}+3t^{2}+2t}{t^{2}-t-6} = \frac{t(t+1)(t+2)}{(t-3)(t+2)}.
Observa-se o fator comum (t+2) no numerador e no denominador. Para t\neq -2 podemos cancelar esse fator, obtendo a função simplificada
\frac{t(t+1)}{t-3},\qquad t\neq -2.
Comentário didático: a presença do mesmo fator (t+2) nos dois polinômios cria a forma 0/0 na substituição direta; ao cancelar esse fator, removemos uma descontinuidade “removível” e podemos avaliar o limite pela função simplificada.

Passo 6

Agora calculamos o limite substituindo t=-2 na função simplificada (já que a simplificação é válida para valores próximos a -2, exceto exatamente em -2, e o limite considera aproximações):
Calcular o numerador e o denominador da expressão simplificada em t=-2:
Numerador:
(-2)\bigl((-2)+1\bigr)=(-2)(-1)=2.
Denominador:
(-2)-3=-5.
Portanto a expressão simplificada em t=-2 vale
\frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}.

Passo 7

Interpretação final: como a função original se simplifica para uma função contínua no ponto t=-2 (após cancelar o fator comum), o limite quando t\to-2 é igual ao valor da função simplificada em t=-2. Logo o limite existe e é -\tfrac{2}{5}.
Força aí — você conseguiu chegar no resultado fazendo fatoração e cancelamento, que é a técnica padrão para esses limites de funções racionais.

Resposta

-\dfrac{2}{5}

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