Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações importantes dadas:
- A expressão é uma função racional (fração de polinômios).
- O ponto onde o limite deve ser calculado é
.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituição direta para ver se a expressão tem valor definido ou se aparece uma forma indeterminada. Calcular numerador e denominador em
.
Numerador:
Denominador:
Como numerador e denominador valem ambos
, a expressão assume a forma indeterminada
. Isso indica que provavelmente há um fator comum que podemos simplificar — vamos fatorar os polinômios.
Passo 3
Fatorar o numerador
. Primeiro, tirar fator comum
:
Agora fatorar a quadrática
. Procura-se dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente do termo linear). Esses números são
e
. Logo:
Portanto o numerador fatorado é
Passo 4
Fatorar o denominador
. Procura-se dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Assim:
Passo 5
Substituir as fatorações na fração original:
Observa-se o fator comum
no numerador e no denominador. Para
podemos cancelar esse fator, obtendo a função simplificada
Comentário didático: a presença do mesmo fator
nos dois polinômios cria a forma
na substituição direta; ao cancelar esse fator, removemos uma descontinuidade “removível” e podemos avaliar o limite pela função simplificada.
Passo 6
Agora calculamos o limite substituindo
na função simplificada (já que a simplificação é válida para valores próximos a
, exceto exatamente em
, e o limite considera aproximações):
Calcular o numerador e o denominador da expressão simplificada em
:
Numerador:
Denominador:
Portanto a expressão simplificada em
vale
Passo 7
Interpretação final: como a função original se simplifica para uma função contínua no ponto
(após cancelar o fator comum), o limite quando
é igual ao valor da função simplificada em
. Logo o limite existe e é
.
Força aí — você conseguiu chegar no resultado fazendo fatoração e cancelamento, que é a técnica padrão para esses limites de funções racionais.