Calcular os seguintes limites:
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(e^{x y}-e^{y}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=e^{xy}-e^{y}+1
quando (x,y) aproxima-se de (1,2). O tema é limites em funções de duas variáveis e usaremos a continuidade das funções elementares para resolver.

Passo 2

Sabemos que a função exponencial é contínua em toda parte e que soma, subtração e produto de funções contínuas também são contínuos. Como
(x,y)\mapsto xy,\quad u\mapsto e^{u}
são contínuos, a composição
f(x,y)=e^{xy}-e^{y}+1
é contínua em (1,2). Portanto, o limite de f no ponto é simplesmente o valor de f nesse ponto.

Passo 3

Basta substituir x=1 e y=2 em f:
f(1,2)=e^{1\cdot2}-e^{2}+1=e^{2}-e^{2}+1=1.

Resposta

1

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