Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
3.1. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=m x (se necessário);
c) pela parábola y=x^{2} (se necessário);
3.2. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{-x^{2} y}{2 x^{2}+2 y^{2}}
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=m x (se necessário);
c) pela parábola y=x^{2} (se necessário);
3.3. \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}}
a) pela reta x=1;
b) pela reta y=x-1 (se necessário);
c) pela parábola y=(x-1)^{2} (se necessário);
3.4. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=2 x (se necessário);
c) pela parábola y=x^{2} (se necessário);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se certos limites de funções de duas variáveis existem e, se existirem, calcular seu valor. O conteúdo é o de limites em várias variáveis e usamos o método de aproximação por caminhos (eixos, retas e parábolas) para testar a existência dos limites.

Passo 2

Para 3.1 consideramos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Pelos eixos coordenados temos:
– Se y=0,
\frac{x^{2}}{x^{2}+0} \;=\;1.
– Se x=0,
\frac{0}{0+y^{2}} \;=\;0.

Passo 3

Como pelas duas direções principais (eixo x e eixo y) obtemos valores diferentes (1 e 0), concluímos que o limite não existe. Não é preciso testar outras curvas.

Passo 4

Para 3.2 consideramos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-x^{2}y}{2x^{2}+2y^{2}}.
Pelos eixos coordenados temos:
– Se y=0, o numerador é -x^{2}\cdot0=0, logo a fração é 0.
– Se x=0, o numerador é -0\cdot y=0, logo a fração é 0.

Passo 5

Pela reta y = m\,x substituímos
\frac{-x^{2}(m\,x)}{2x^{2}+2(m\,x)^{2}} =\frac{-m\,x^{3}}{2x^{2}(1+m^{2})} =-\frac{m\,x}{2(1+m^{2})}
e ao levar x\to0 vem 0.

Passo 6

Pela parábola y=x^{2} temos
\frac{-x^{2}(x^{2})}{2x^{2}+2x^{4}} =\frac{-x^{4}}{2x^{2}(1+x^{2})} =-\frac{x^{2}}{2(1+x^{2})}
e ao levar x\to0 vem 0. Como todas as curvas testadas dão 0, o limite existe e vale 0.

Passo 7

Para 3.3 fazemos o deslocamento u=x-1 e consideramos
\lim_{(u,y)\to(0,0)}\frac{u^{2}y}{u^{4}+y^{2}}.
Pela reta x=1 (ou seja u=0) a expressão vale
\frac{0\cdot y}{0+y^{2}}=0.

Passo 8

Pela reta y=x-1 (ou seja y=u) temos
\frac{u^{2}\,u}{u^{4}+u^{2}} =\frac{u^{3}}{u^{2}(u^{2}+1)} =\frac{u}{u^{2}+1}
e ao levar u\to0 vem 0.

Passo 9

Pela parábola y=(x-1)^{2} (ou seja y=u^{2}) obtemos
\frac{u^{2}\,u^{2}}{u^{4}+u^{4}} =\frac{u^{4}}{2u^{4}} =\tfrac12.
Como surge \tfrac12\neq0, o limite não existe.

Passo 10

Para 3.4 consideramos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Pelos eixos coordenados:
– Se y=0,
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
– Se x=0,
\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Valores diferentes implicam que o limite não existe.

Resposta

3.1 Não existe.
3.2 Existe e vale 0.
3.3 Não existe.
3.4 Não existe.

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