Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
3.1.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
(se necessário);
c) pela parábola
(se necessário);
3.2.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
(se necessário);
c) pela parábola
(se necessário);
3.3.
a) pela reta
;
b) pela reta
(se necessário);
c) pela parábola
(se necessário);
3.4.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
(se necessário);
c) pela parábola
(se necessário);
3.1.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
c) pela parábola
3.2.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
c) pela parábola
3.3.
a) pela reta
b) pela reta
c) pela parábola
3.4.
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta
c) pela parábola
Passo 1
O enunciado pede para verificar se certos limites de funções de duas variáveis existem e, se existirem, calcular seu valor. O conteúdo é o de limites em várias variáveis e usamos o método de aproximação por caminhos (eixos, retas e parábolas) para testar a existência dos limites.
Passo 2
Para 3.1 consideramos
.
Pelos eixos coordenados temos:
– Se ,
Pelos eixos coordenados temos:
– Se
– Se
,
Passo 3
Como pelas duas direções principais (eixo
e eixo
) obtemos valores diferentes (1 e 0), concluímos que o limite não existe. Não é preciso testar outras curvas.
Passo 4
Para 3.2 consideramos
.
Pelos eixos coordenados temos:
– Se , o numerador é
, logo a fração é 0.
– Se , o numerador é
, logo a fração é 0.
Pelos eixos coordenados temos:
– Se
– Se
Passo 5
Pela reta
substituímos
e ao levar
vem 0.
Passo 6
Pela parábola
temos
e ao levar
vem 0. Como todas as curvas testadas dão 0, o limite existe e vale 0.
Passo 7
Para 3.3 fazemos o deslocamento
e consideramos
.
Pela reta (ou seja
) a expressão vale
Pela reta
Passo 8
Pela reta
(ou seja
) temos
e ao levar
vem 0.
Passo 9
Pela parábola
(ou seja
) obtemos
Como surge
, o limite não existe.
Passo 10
Para 3.4 consideramos
.
Pelos eixos coordenados:
– Se ,
Pelos eixos coordenados:
– Se
– Se
,
Valores diferentes implicam que o limite não existe.
Resposta
3.1 Não existe.
3.2 Existe e vale .
3.3 Não existe.
3.4 Não existe.
3.2 Existe e vale
3.3 Não existe.
3.4 Não existe.