Usando propriedades, calcular os limites seguintes:
2.1. \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 1}}\left(x^{2}+y^{2}+10\right)
2.2. \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\\ y \rightarrow+\infty}} e^{\frac{1}{x+y}}
2.3. \lim _{\substack{x \rightarrow \frac{\pi}{2} \\\ y \rightarrow \frac{\pi}{2}}} \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x}
2.4. \lim _{\substack{x \rightarrow 4 \\\ y \rightarrow 2}} \ln \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta quatro limites de funções de duas variáveis e pede para calculá-los usando propriedades de limite e continuidade. Vamos usar que polinômios, exponenciais, funções trigonométricas e logarítmicas são contínuas em seus domínios, de modo que podemos substituir diretamente os valores de (x,y) ou compor limites.

Passo 2

Para
\lim_{\substack{x\to1 \\\ y\to1}}\bigl(x^{2}+y^{2}+10\bigr)
como x^{2}+y^{2}+10 é um polinômio em (x,y), ele é contínuo em todo lugar. Basta substituir x=1 e y=1:
1^{2}+1^{2}+10 = 1+1+10 = 12.

Passo 3

Para
\lim_{\substack{x\to+\infty \\\ y\to+\infty}} e^{\frac{1}{x+y}}
a função exponencial é contínua, logo
\lim_{\substack{x\to+\infty \\\ y\to+\infty}} e^{\frac{1}{x+y}} = e^{\lim_{x+y\to+\infty}\frac{1}{x+y}} = e^{0} =1.

Passo 4

Para
\lim_{\substack{x\to \frac{\pi}{2} \\\ y\to \frac{\pi}{2}}}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x}
a função seno é contínua e x tende a \tfrac{\pi}{2}\neq0. Temos
x+y \to \tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2} = \pi,
\operatorname{sen}(x+y)\to \operatorname{sen}(\pi)=0,
e
x\to \tfrac{\pi}{2},
então o quociente tende a
\frac{0}{\tfrac{\pi}{2}}=0.

Passo 5

Para
\lim_{\substack{x\to4 \\\ y\to2}} \ln\!\biggl(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\biggr)
o argumento do logaritmo é contínuo onde x-y+1\neq0. Substituindo x=4, y=2:
x^{2}+y^{2}=16+4=20, \quad x-y+1=4-2+1=3,
\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}=\frac{20}{3}.
Como \ln é contínua em \mathbb{R}^+, o limite é
\ln\!\bigl(\tfrac{20}{3}\bigr).

Resposta

2.1 12
2.2 1
2.3 0
2.4 \ln\!\bigl(\tfrac{20}{3}\bigr)

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