Calcular os seguintes limites:
lim substackx 0 y 0 x y^2x^2+y^2 (Use o Teorema do Confronto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limsubstackxto0 yto0 x,y^2x^2+y^2
usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Vamos tratar de estimar a grandeza dessa função para mostrar que ela tende a zero.

Passo 2

Observe que, para (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é positivo e
y^2<= x^2+y^2
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y^2x^2+y^2<=1
Dessa forma,
|x,y^2x^2+y^2| =;|x|;y^2x^2+y^2 <=|x|cdot1=|x|

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, como para todo (x,y) próximo de (0,0) temos
-;|x|;<=;x,y^2x^2+y^2;<=;|x|
e sabemos que
limsubstackxto0 yto0|x|=0,
segue que
limsubstackxto0 yto0x,y^2x^2+y^2=0

Resposta

0

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