Utilizando funções escada u(t-a)=ua(t) calcule a transformada de Laplace de
f(t)= t^2, & 0 <= t<2 0, & t >= 2

Passo 1

O enunciado define
f(t)=t^2,&0<= t<2,0,&t>=2,
e pede Lf(t) usando as funções escada u(t) e u(t-2). Vamos usar linearidade e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos de escadas:
f(t)=t^2l[u(t)-u(t-2)r]
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F(s)=Lt^2u(t)-Lt^2u(t-2)

Passo 3

Calculamos o primeiro termo:
Lt^2u(t)=integral0^inftyt^2e^-stdt=2s^3,
pois integral0^inftyt^n e^-stdt=n!s^n+1.

Passo 4

Para o segundo termo, note que
t^2u(t-2)=h(t-2)u(t-2),
com h(tau)=(tau+2)^2 e tau=t-2. Pelo teorema do deslocamento:
Lh(t-2)u(t-2) =e^-2sintegral0^infty(tau+2)^2e^-staudtau =e^-2sintegral0^infty(tau^2+4tau+4)e^-staudtau
Usando integral0^inftytau^2e^-staudtau=2/s^3, integral0^inftytau e^-staudtau=1/s^2 e integral0^inftye^-staudtau=1/s, obtemos
integral0^infty(tau^2+4tau+4)e^-staudtau =2s^3+4s^2+4s

Passo 5

Reunindo tudo:
F(s) =2s^3 -;e^-2sl(2s^3+4s^2+4sr)

Resposta

Lf(t) =2s^3 -;e^-2sl(2s^3+4s^2+4sr)

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