Questão 3:Resolva o seguinte P.V.I.: cz^prime prime-2 z^prime+5 z=0 z(pi2)=0 z^prime(pi2)=2.
a) Encontre a Solução Geral.
b) Ache a solução do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão nos pede para resolver um problema de valor inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial e:
z'' - 2z' + 5z = 0 z(pi2) = 0 z'(pi2) = 2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar a solução específica do P.V.I.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
z'' - 2z' + 5z = 0
Para isso, assumimos uma solução do tipo z = e^rt , onde r é um número que vamos determinar. Substituindo na equação, temos:
r^2 e^rt - 2r e^rt + 5 e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 - 2r + 5 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2r + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i
Aqui, encontramos raízes complexas: r = 1 + 2i e r = 1 - 2i .

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é:
z(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
No nosso caso, alpha = 1 e beta = 2 , então:
z(t) = e^t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )

Passo 5

Essa é a solução geral da equação diferencial. Agora, vamos para a parte b) e aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição z(pi2) = 0 :
0 = e^pi2 ( C1 cos(2 cdot pi2) + C2 sin(2 cdot pi2) )
Simplificando:
0 = e^pi2 ( C1 cos(pi) + C2 sin(pi) )
Como cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0 :
0 = e^pi2 ( -C1 ) Rightarrow C1 = 0

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição z'(pi2) = 2 . Primeiro, precisamos derivar z(t) :
z(t) = e^t ( 0 cdot cos(2t) + C2 sin(2t) ) = C2 e^t sin(2t)
Derivando:
z'(t) = C2 e^t sin(2t) + C2 e^t cdot 2 cos(2t) = C2 e^t ( sin(2t) + 2 cos(2t) )
Agora, aplicando t = pi2 :
2 = C2 e^pi2 ( sin(2 cdot pi2) + 2 cos(2 cdot pi2) ) = C2 e^pi2 ( sin(pi) + 2 cos(pi) )
Sabendo que sin(pi) = 0 e cos(pi) = -1 :
2 = C2 e^pi2 ( 0 + 2 cdot (-1) ) = -2 C2 e^pi2
Resolvendo para C2 :
C2 = -22 e^pi2 = -1e^pi2 = -e^-pi2

Resposta

A solução específica do P.V.I. é:
z(t) = -e^-pi2 e^t sin(2t) = -e^t - pi2 sin(2t)

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