Questão 2: Resolva o Sistema Diferencial abaixo:
l dotx1=x1+2 x2 dotx2=8 x1+x2 x1(0)=0 x2(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema diferencial que tem duas equações com duas funções x1(t) e x2(t) . O que precisamos aqui é trabalhar com sistemas diferenciais lineares. Para isso, vamos usar autovalores e autovetores para diagonalizar o sistema e facilitar a resolução. Vamos precisar montar a matriz do sistema, encontrar seus autovalores e autovetores, e finalmente usar as condições iniciais para achar as constantes das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. As equações são:
dotx1 = x1 + 2x2 dotx2 = 8x1 + x2
Podemos representar isso como:
dotx = Ax
Onde:
A = 1 & 2 8 & 1 , x = x1 x2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores lambda são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando:
det 1 - lambda & 2 8 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 - (2 times 8) = (1 - lambda)^2 - 16 = 0
Expandindo:
1 - 2lambda + lambda^2 - 16 = lambda^2 - 2lambda - 15 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm raiz642 = 2 pm 82
Então, os autovalores são:
lambda1 = 5 e lambda2 = -3

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes. Vamos começar com lambda1 = 5 .
Resolvendo (A - 5I)v = 0 :
1 - 5 & 2 8 & 1 - 5 v1 v2 = -4 & 2 8 & -4 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação:
-4v1 + 2v2 = 0 implies v2 = 2v1
Escolhendo v1 = 1 , temos o autovetor:
v1 = 1 2
Agora, para lambda2 = -3 :
Resolvendo (A + 3I)v = 0 :
1 + 3 & 2 8 & 1 + 3 v1 v2 = 4 & 2 8 & 4 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá:
4v1 + 2v2 = 0 implies v2 = -2v1
Escolhendo v1 = 1 , o autovetor é:
v2 = 1 -2

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores:
x(t) = c1 e^5t 1 2 + c2 e^-3t 1 -2
Isso se traduz em:
x1(t) = c1 e^5t + c2 e^-3t x2(t) = 2c1 e^5t - 2c2 e^-3t

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar [c_1) e . Sabemos que e .
Substituindo :
Da primeira equação, temos (c_2 = -c_1]. Substituindo na segunda:
Então, .

Resposta

A solução do sistema diferencial é:
x1(t) = dfrac14 e^5t - dfrac14 e^-3t x2(t) = dfrac12 e^5t + dfrac12 e^-3t

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