Calcular os seguintes limites:
lim substackx 1 y 1 x^2-x yx^2-y^2

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular o limite da função x^2 - x yx^2 - y^2 quando x e y se aproximam de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e técnicas de simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 1 e y = 1 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite dessa forma.
Substituindo:
1^2 - 1 cdot 11^2 - 1^2 = 1 - 11 - 1 = 00
Aconteceu uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador para eliminar essa indeterminação. Observe que o denominador x^2 - y^2 pode ser fatorado usando a identidade da diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador x^2 - x y. Podemos fatorar o x em comum:
x^2 - x y = x(x - y)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos:
x^2 - x yx^2 - y^2 = x(x - y)(x - y)(x + y)
Perceba que o termo x - y está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo.

Passo 6

Após cancelar x - y, a expressão fica:
xx + y
Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando x 1 e y 1:
limsubstackx 1 y 1 xx + y = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite é 12.

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