Encontre uma representação em série de potências, centrada em x0, para a função e determine o raio de convergência:
f(x)=ln (5-x) e x0=2

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=ln(5-x)
centrada em x0=2. Vamos usar a mudança de variável t=x-2 e a expansão conhecida
ln(1-u)=-sumn=1^inftyu^nn, |u|<1

Passo 2

Defina t=x-2. Então
f(x)=ln(5-x)=lnl(5-(2+t)r)=ln(3-t)
Reescrevendo em forma 1-u, temos
ln(3-t)=lnl[3l(1-tfract3r)r] =ln(3)+lnl(1-tfract3r)

Passo 3

Aplique a expansão de ln(1-u) com u=tfract3. Logo
lnl(1-tfract3r) =-sumn=1^infty1nl(tfract3r)^n =-sumn=1^infty(x-2)^nn,3^n
Portanto a série de potências é
boxed ln(5-x) =ln(3);-;sumn=1^infty(x-2)^nn,3^n

Passo 4

Para convergência precisamos de
l|tfract3r|<1 Long<=ftrightarrow |x-2|<3
Logo o raio de convergência é R=3.

Resposta

ln(5-x) =ln(3);-;sumn=1^infty(x-2)^nn,3^n, R=3

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