Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
lim substackx 0 y 0 x^2-y^2x^2+y^2
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=2 x (se necessário);
c) pela parábola y=x^2 (se necessário);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2-y^2x^2+y^2
existe, e, em caso afirmativo, calcular seu valor ao longo de três curvas: pelos eixos coordenados, pela reta y=2x e pela parábola y=x^2. Vamos usar limites unidirecionais para testar a existência do limite em duas variáveis.

Passo 2

Aproximando pelo eixo x (i.e.\ y=0) e pelo eixo y (i.e.\ x=0):
  • Se y=0,
x^2-0^2x^2+0^2 =x^2x^2 =1,
portanto
limxto0x^2-y^2x^2+y^2|y=0=1
  • Se x=0,
0^2-y^20^2+y^2 =-1,
portanto
limyto0x^2-y^2x^2+y^2|x=0=-1

Passo 3

Aproximando pela reta y=2x:
x^2-(2x)^2x^2+(2x)^2 =x^2-4x^2x^2+4x^2 =-3x^25x^2 =-35
Logo
limxto0x^2-y^2x^2+y^2|y=2x=-35

Passo 4

Aproximando pela parábola y=x^2:
x^2-(x^2)^2x^2+(x^2)^2 =x^2-x^4x^2+x^4 =1 - x^21 + x^2 ;xrightarrow[xto0];1

Passo 5

Obtivemos quatro valores distintos ao nos aproximarmos de (0,0) por curvas diferentes:
1,;-1,;-tfrac35,;1
Como esses resultados não coincidem, o limite não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2 não existe.

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