Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3 x-4}\right]

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema pede:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1}\left[\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4}\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser limitada é uma função racional: numerador x^{3}-1 e denominador x^{4}+3x-4.
  • O ponto de interesse é x=1.
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.

Passo 2

Teste de substituição direta (primeiro passo usual com limites de funções racionais): substituir x=1 em numerador e denominador para ver se dá um valor finito direto.
\text{Numerador em }x=1: \; 1^{3}-1 = 1-1 = 0.
\text{Denominador em }x=1: \; 1^{4}+3\cdot1-4 = 1+3-4 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada 0/0, não podemos concluir o valor do limite por mera substituição. Isso indica que há um fator comum (x-1) que podemos tentar eliminar por fatoração ou outra manipulação algébrica.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. A fórmula é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aqui a=x e b=1, logo
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Expliquei a fórmula: ela mostra que sempre que tivermos x^{3}-1 podemos tirar o fator (x-1) multiplicado pelo polinômio quadrático x^{2}+x+1.

Passo 4

Fatorar o denominador sabendo que x=1 zera o polinômio, então (x-1) é fator. Vamos dividir x^{4}+3x-4 por (x-1) para encontrar o quociente. Faço uma divisão sintética (método prático para dividir por x-1).
Escrevendo os coeficientes de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+3x-4: 1,\;0,\;0,\;3,\;-4.
Usando 1 (raiz) na divisão sintética:
  • Desço o 1.
  • Multiplico 1\cdot1=1 e somo ao próximo coeficiente: 0+1=1.
  • Multiplico 1\cdot1=1 e somo: 0+1=1.
  • Multiplico 1\cdot1=1 e somo: 3+1=4.
  • Multiplico 1\cdot4=4 e somo: -4+4=0 (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são 1,\;1,\;1,\;4, o que corresponde ao polinômio x^{3}+x^{2}+x+4. Portanto
x^{4}+3x-4=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+4\bigr).

Passo 5

Agora reescrevemos a expressão original fatorada e simplificamos o fator comum (x-1) (válido para x\neq 1; isso é suficiente para calcular o limite).
\frac{x^{3}-1}{x^{4}+3x-4} = \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+4)} = \frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+4},\qquad x\neq 1.
Explicação: ao eliminar o fator (x-1) a função simplificada é uma função racional cujo denominador não é zero em x=1 (pois já removemos a raiz), e os polinômios são contínuos, então podemos aplicar substituição direta no limite dessa função simplificada.

Passo 6

Aplicar substituição direta na função simplificada para obter o limite:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+4} = \frac{1^{2}+1+1}{1^{3}+1^{2}+1+4} = \frac{1+1+1}{1+1+1+4} = \frac{3}{7}.
Justificativa: depois de cancelar o fator que causava a indeterminação, restou uma função que é contínua em x=1, portanto o limite é o valor da função em 1.

Passo 7

Resumindo o método (dica rápida para a prova) e um exemplo extra para fixar:
  • Ao calcular limites de forma 0/0 com polinômios, tente fatorar e cancelar o fator que gera 0/0 (geralmente x-a se o limite é x\to a).
  • Exemplo rápido: \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}. Fatora-se x^{2}-4=(x-2)(x+2), cancela (x-2) e o limite é \lim_{x\to 2}(x+2)=4.
Vai dar certo — respira fundo, pratica esses passos e a técnica fica automática.

Resposta

\dfrac{3}{7}

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