Calcular os seguintes limites:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema pede:
- Calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser limitada é uma função racional: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
.
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado.
Passo 2
Teste de substituição direta (primeiro passo usual com limites de funções racionais): substituir
em numerador e denominador para ver se dá um valor finito direto.
Como obtemos a forma indeterminada
, não podemos concluir o valor do limite por mera substituição. Isso indica que há um fator comum
que podemos tentar eliminar por fatoração ou outra manipulação algébrica.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos. A fórmula é
Aqui
e
, logo
Expliquei a fórmula: ela mostra que sempre que tivermos
podemos tirar o fator
multiplicado pelo polinômio quadrático
.
Passo 4
Fatorar o denominador sabendo que
zera o polinômio, então
é fator. Vamos dividir
por
para encontrar o quociente. Faço uma divisão sintética (método prático para dividir por
).
Escrevendo os coeficientes de
:
.
Usando (raiz) na divisão sintética:
Usando
- Desço o
. - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
e somo: . - Multiplico
e somo: . - Multiplico
e somo: (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são
, o que corresponde ao polinômio
. Portanto
Passo 5
Agora reescrevemos a expressão original fatorada e simplificamos o fator comum
(válido para
; isso é suficiente para calcular o limite).
Explicação: ao eliminar o fator
a função simplificada é uma função racional cujo denominador não é zero em
(pois já removemos a raiz), e os polinômios são contínuos, então podemos aplicar substituição direta no limite dessa função simplificada.
Passo 6
Aplicar substituição direta na função simplificada para obter o limite:
Justificativa: depois de cancelar o fator que causava a indeterminação, restou uma função que é contínua em
, portanto o limite é o valor da função em
.
Passo 7
Resumindo o método (dica rápida para a prova) e um exemplo extra para fixar:
- Ao calcular limites de forma
com polinômios, tente fatorar e cancelar o fator que gera (geralmente se o limite é ). - Exemplo rápido:
. Fatora-se , cancela e o limite é .
Vai dar certo — respira fundo, pratica esses passos e a técnica fica automática.