Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão tem radicais no numerador e no denominador.
- Se fazemos substituição direta
:
ou seja, obtemos a forma indeterminada
. Portanto não dá para concluir o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão antes de tomar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece
com raízes quadradas, uma técnica muito útil é racionalizar (usar conjugados) para eliminar radicais e obter fatores que possamos simplificar. Lembre que a identidade básica é
que permite transformar uma diferença de raízes em uma diferença sem raízes. O objetivo aqui é obter um fator
que se cancele entre numerador e denominador, removendo a indeterminação.
Passo 3
Racionalizar o numerador usando o conjugado
. Multiplicando numerador e denominador por
(apenas no numerador, isto é, escrevendo o numerador como razão equivalente) obtemos:
Factorizando
:
Logo
Passo 4
Racionalizar o denominador usando o conjugado
. Analogamente:
Passo 5
Substituir as expressões racionalizadas na fração original. Temos
Dividir frações equivale a multiplicar pela recíproca; assim
Agora, para
próximo de
com
, podemos cancelar o fator comum
:
Essa expressão é agora contínua em
, então podemos tomar o limite por substituição direta.
Passo 6
Calcular o limite substituindo
na expressão simplificada:
Simplificando os termos:
Portanto