Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4}\left[\frac{\sqrt{2 x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x \to 4:
\lim_{x\to4}\left[\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right].
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão tem radicais no numerador e no denominador.
  • Se fazemos substituição direta x=4:
\sqrt{2\cdot4+1}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0, \qquad \sqrt{4-2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0,
ou seja, obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Portanto não dá para concluir o valor do limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão antes de tomar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece \dfrac{0}{0} com raízes quadradas, uma técnica muito útil é racionalizar (usar conjugados) para eliminar radicais e obter fatores que possamos simplificar. Lembre que a identidade básica é
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que permite transformar uma diferença de raízes em uma diferença sem raízes. O objetivo aqui é obter um fator (x-4) que se cancele entre numerador e denominador, removendo a indeterminação.

Passo 3

Racionalizar o numerador usando o conjugado \sqrt{2x+1}+3. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2x+1}+3 (apenas no numerador, isto é, escrevendo o numerador como razão equivalente) obtemos:
\sqrt{2x+1}-3=\frac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)}{\sqrt{2x+1}+3} =\frac{2x+1-9}{\sqrt{2x+1}+3} =\frac{2x-8}{\sqrt{2x+1}+3}.
Factorizando 2x-8:
2x-8=2(x-4).
Logo
\sqrt{2x+1}-3=\frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}.

Passo 4

Racionalizar o denominador usando o conjugado \sqrt{x-2}+\sqrt{2}. Analogamente:
\sqrt{x-2}-\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}} =\frac{x-2-2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}} =\frac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}.

Passo 5

Substituir as expressões racionalizadas na fração original. Temos
\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} =\frac{\dfrac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}}{\dfrac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}}.
Dividir frações equivale a multiplicar pela recíproca; assim
\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} = \frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}\cdot\frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{x-4}.
Agora, para x próximo de 4 com x\neq4, podemos cancelar o fator comum x-4:
\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} = 2\cdot\frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x+1}+3}.
Essa expressão é agora contínua em x=4, então podemos tomar o limite por substituição direta.

Passo 6

Calcular o limite substituindo x=4 na expressão simplificada:
\lim_{x\to4}2\cdot\frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x+1}+3} =2\cdot\frac{\sqrt{4-2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2\cdot4+1}+3} =2\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{9}+3}.
Simplificando os termos:
\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2},\qquad \sqrt{9}+3=3+3=6.
Portanto
\lim_{x\to4}\left[\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}\right] =2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

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