Calcular os seguintes limites
lim y 0 y^2+y^3-x yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular $\lim_{y\to0} \frac{y{2}+y{3}-x y}{x{2}+y{2}}$. Isso faz parte do conteúdo de limites de funções de várias variáveis, mas aqui a variável que tende a zero é apenas $y$, enquanto $x$ fica como parâmetro fixo. Vamos usar regras básicas de limites (passo a passo) e, se necessário, tratar separadamente o caso em que o denominador se anula.

Passo 2

Para $x$ diferente de zero, o denominador $x{2}+y{2}$ tende a $x^{2}$ não nulo, e o numerador $y{2}+y{3}-xy$ tende a $-x\cdot0 + 0 + 0 = 0$. Assim, aplicando a regra do quociente de limites:
x

Passo 3

No caso $x=0$, substituímos diretamente na expressão: o limite vira x=0

Passo 4

Portanto, juntando os dois resultados, obtemos o valor do limite dependendo de $x$.

Resposta

limyto0 y^2+y^3-x yx^2+y^2 = 1, & x = 0, 0, & x neq 0

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