Encontre uma equação da elipse com centro na origem que passe pelos pontos (1,-10 raiz2 / 3) e(-2,5 raiz5 / 3).

Passo 1

O enunciado pede uma elipse com centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados, passando pelos pontos (1,-10raiz2/3) e (-2,5raiz5/3). O modelo padrão de uma elipse centrada na origem é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde a e b são os semi-eixos que precisamos determinar.

Passo 2

Substituímos cada ponto na equação genérica para obter um sistema em a^2 e b^2. Para simplificar, defina
A = 1a^2, B = 1b^2

Passo 3

No ponto (1,-10raiz2/3) temos
1^2a^2 ;+;l(-10raiz2/3r)^2b^2 ;=;1 ;Longrightarrow; A + 200/9,B = 1

Passo 4

No ponto (-2,5raiz5/3) temos
(-2)^2a^2 ;+;l(5raiz5/3r)^2b^2 ;=;1 ;Longrightarrow; 4A + 125/9,B = 1

Passo 5

Multiplicando cada equação por 9, obtemos o sistema
9A + 200B = 9, 36A + 125B = 9
Da primeira 9A = 9 - 200B, então A = 1 - tfrac2009B. Substituindo na segunda:
36l(1 - tfrac2009Br) + 125B = 9 ;Longrightarrow; 36 - 800B +125B = 9 ;Longrightarrow; -675B = -27 ;Longrightarrow; B = 125
Logo A = 1 - tfrac2009cdottfrac125 = 1 - tfrac89 = tfrac19

Passo 6

Voltando a a^2 e b^2:
A = 1a^2 = 19 ;Longrightarrow; a^2 = 9, B = 1b^2 = 125 ;Longrightarrow; b^2 = 25

Resposta

A equação da elipse é
x^29 ;+;y^225 ;=;1

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