Calcular os seguintes limites usando a propriedade abaixo.
lim substackx 0^+ y 0^+ raizx y^2+y^3-x y^3x^2+y^2
Propriedade:
Se lim substackx x0 y y0 f(x, y)=0 e g(x, y) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em (x0, y0), então
lim substackx x0 y y0 f(x, y) g(x, y)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema quer que calculemos:
lim substackx 0^+ y 0^+ raizx y^2+y^3-x y^3x^2+y^2
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites em Variáveis Múltiplas. Para resolver, vamos usar uma propriedade que ajuda quando temos funções que se aproximam de zero e outras que são limitadas. Precisaremos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente e aplicar a propriedade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
x y^2 + y^3 - x y^3x^2 + y^2
Isso pode ser reescrito como:
y^2(x + y - x y)x^2 + y^2

Passo 3

Agora, observamos que o numerador é e o denominador é . Queremos entender como essa fração se comporta quando e se aproximam de 0.

Passo 4

Vamos analisar o limite da fração sem a raiz:
lim substackx 0^+ y 0^+ y^2(x + y - x y)x^2 + y^2
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
y^2xx^2 + y^2 + y^3x^2 + y^2 - x y^3x^2 + y^2

Passo 5

Vamos analisar cada termo separadamente:
Quando e se aproximam de 0, cada um desses termos também se aproxima de 0, porque o numerador tende a zero mais rápido que o denominador.

Passo 6

Portanto, o limite da fração inteira é 0:
lim substackx 0^+ y 0^+ y^2(x + y - x y)x^2 + y^2 = 0

Passo 7

Agora, voltamos à expressão original com a raiz:
lim substackx 0^+ y 0^+ raiz0 = 0
Usamos a propriedade que se o limite de e é limitado perto de , então o limite de .

Resposta

0

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