Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral tan (x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de . Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, especificamente a substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar como as funções e se relacionam e como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Mas, em integração, é útil identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar o cálculo. Observando a integral , percebemos que podemos usar a substituição.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observe que a derivada de u = tan(x) é dudx = sec^2(x) . Porém, aqui temos du = sec^2(x) , dx . Então, vamos tentar deixar uma parte da expressão como .
Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos integral tan(x) sec^2(x) , dx = integral u , du e na integral original:
Essa substituição simplificou a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u , du = u^22 + C . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^22 + C = (tan(x))^22 + C de volta para a variável original tan^2(x)2 + C :
Podemos também escrever isso como:

Resposta

A integral de tan^2(x)2 + C é:

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