Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de
. Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, especificamente a substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar como as funções
e
se relacionam e como aplicar a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Mas, em integração, é útil identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar o cálculo. Observando a integral
, percebemos que podemos usar a substituição.
Passo 3
Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observe que a derivada de
é
. Porém, aqui temos
. Então, vamos tentar deixar uma parte da expressão como
.
Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Essa substituição simplificou a integral para algo mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para a variável original
:
Podemos também escrever isso como:
Resposta
A integral de
é: